双扭线

双扭线（lemniscate）是代数几何中的名词，是指8字型或是∞型的曲线^[1][2]，lemniscate源自拉丁文"lēmniscātus"，意思是“用缎带装饰”^[2]，或是指羊毛（缎带的原料）^[1]。

伯努利双扭线，以及其二个焦点

历史和例子

Booth双扭线

Booth双扭线

Booth双扭线的研究可以追溯到西元五世纪的希腊新柏拉图主义哲学家及数学家普罗克洛，他考虑环面和一个和环面轴心平行的平面相交产生的图形，他所观测到的，大部分这类的截面会包括一个或是两个卵形，不过若平面恰好和环面的内表面相切，其图形会是一个8字型的图案，普罗克洛称为脚铐或是Hippopede（英语：Hippopede）。lemniscate这个名字最早是在十七世纪出现，19世纪的数学家James Booth（英语：James Booth (mathematician)）也曾研究此一曲线^[1]。

Booth双扭线可以定义为四次多项式${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$的零集，其中参数d为负值。若参数d为正值，会得到Booth卵形（英语：oval of Booth）。

伯努利双扭线

伯努利双扭线

乔瓦尼·多梅尼科·卡西尼在1680年研究一系列的曲线，现今称为卡西尼卵形线，是所有到两个定点（图形的焦点）距离乘积为常数的点形成的轨迹。在非常特殊的条件下（两点距离的一半等于上述常数的平方根），所得的就是双扭线。

约翰·白努利在1694年研究卡西尼卵形线中的双扭线（现今称为伯努利双扭线，如上图），他找到这曲线和戈特弗里德·莱布尼茨稍早提出的等时降线的关系。此曲线是多项式${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})}$的零集。约翰·伯努利的哥哥雅各布·伯努利也在同一年研究该曲线，并且给了lemniscate的名称^[3]，伯努利双扭线也可以定义为所有由到两定点距离之乘积为定值（两定点之间距离平方的四分之一）的点的轨迹^[4]。伯努利双扭线是特殊的Booth双扭线，满足${\displaystyle d=-c}$的条件，且其对应的环面内圆和环面截面的圆大小相同^[1]。双扭线椭圆函数（英语：Lemniscatic elliptic function）是针对伯努利双扭线，类似椭圆函数的函数，而高斯常数可用来定义双扭线常数（Lemniscate常数），在计算伯努利双扭线弧长时会用到。

赫罗诺双纽线

赫罗诺双纽线：x⁴−x²+y²=0的解集合^[5]

赫罗诺双纽线（lemniscate of Gerono）也称为8字型线或惠更斯双纽线（lemniscate of Huygens），是四次方程式${\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})=0}$的解集合ref>Basset, Alfred Barnard, The Lemniscate of Gerono, An elementary treatise on cubic and quartic curves, Deighton, Bell: 171–172, 1901 [2017-10-28], （原始内容存档于2016-12-04）.</ref>^[6]。Viviani曲线（英语：Viviani's curve）是由圆柱和圆相交所形成的三维曲线，也是8字型的曲线，赫罗诺双纽线是Viviani曲线在特定平面上的投影^[7]。

其他

其他有8字型的代数曲线有

• 魔鬼曲线，是由四次方程${\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})}$所定义的曲线，曲线中有一部分为8字型^[8]。
• 瓦特曲线是由机械连杆形成的8字型曲线，瓦特曲线是六次方程${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$的解集合，伯努利双扭线是瓦特曲线中的一个特例。

相关条目

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