高斯常数

提示：此条目的主题不是高斯引力常数。

高斯常数符号为G，是1和根号2之算术-几何平均数的倒数：

${\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .}$

高斯常数

识别
种类	无理数 超越数
发现	卡尔·弗里德里希·高斯
符号	${\displaystyle G}$
位数数列编号	A014549
性质
定义	${\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}}$
连分数	[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36...]（OEIS数列A053002）
表示方式
值	0.8346268
二进制	0.110101011010101000011010…
八进制	0.653250326325523207665422…
十进制	0.834626841674073186281429…
十六进制	0.D5AA1ACD5A9A1F6B126ED416…

此数学常数得名自卡尔·弗里德里希·高斯，他在1799年5月30日发现

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

因此

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}$

其中B为贝塔函数。

和其他常数的关系

高斯常数常用来表示${\displaystyle \color {blue}\Gamma ({\frac {1}{4}})}$的数值。

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

换句话说

${\displaystyle G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}$

因为${\displaystyle \pi }$和${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})}$互相代数独立，且${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})}$为无理数，因此高斯常数为超越数。

Lemniscate常数

高斯常数常用来定义lemniscate常数，第一lemniscate常数为：

${\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}$

第二lemniscate常数为：

${\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}$

在计算伯努利双纽线的弧长时会出现这些常数。

其他公式

以下是一个用Θ函数定义高斯常数的公式

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })}$

也可以用以下快速收敛的级数表示

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}$

高斯常数也可以用无穷乘积表示：

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}$

在以下的定积分中也有高斯常数

${\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}$

高斯常数的连分数为[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. （OEIS数列A053002）

相关条目

• Lemniscatic椭圆函数（英语：Lemniscatic elliptic function）

参考资料

• 埃里克·韦斯坦因. Gauss's Constant. MathWorld.
• Sequences A014549 and A053002 in OEIS