非完整系统

在古典力学里，假如，一个系统有任何约束是非完整约束，则称此系统为非完整系统。非完整约束不是完整约束。完整约束可以用方程式表示为

${\displaystyle f(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{N},\ t)=0}$；

这里，${\displaystyle f}$是每一个粒子${\displaystyle P_{i}}$之位置${\displaystyle x_{i}}$和时间${\displaystyle t}$的函数。非完整约束不能够用上述方程式表示。

广义坐标的转换

完整约束方程式与位置、时间有关，与速度无关。完整约束方程式可以很简易地除去指定的变数。假设变数${\displaystyle x_{d}}$是完整约束函数${\displaystyle f_{k}}$里的一个参数，现在指定除去${\displaystyle x_{d}}$。重新编排上述约束方程式，求出表示${\displaystyle x_{d}}$的函数${\displaystyle g_{k}}$：

${\displaystyle x_{d}=g_{k}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)}$。

将函数${\displaystyle g_{k}}$代入所有提到${\displaystyle x_{d}}$的方程式。这样，可以除去所有指定变数${\displaystyle x_{d}}$。

假设一个物理系统原本的自由度是${\displaystyle N}$。现在，将${\displaystyle h}$个完整约束作用于此系统。那么，这系统的自由度减少为${\displaystyle m=N-h}$。可以用${\displaystyle m}$个独立广义座标${\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})}$来完全描述这系统的运动。座标的转换方程式可以表示如下：

${\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N}$。

换句话说，由于非完整约束无法依照上述方法，来除去其所含广义座标，完全描述非完整系统，所需要的广义座标数目，大于自由度。

微分形式表示

约束有时可以用微分形式的约束方程式来表示。思考第${\displaystyle i}$个约束的微分形式的约束方程式：

${\displaystyle \sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0}$；

这里，${\displaystyle c_{ij}}$，${\displaystyle c_{i}}$分别为微分${\displaystyle dq_{j}}$与${\displaystyle dt}$的系数。

假若此约束方程式是可积分的。也就是说，有一个函数${\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0}$的全微分满足下述等式：

${\displaystyle df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0}$；

那么，此约束是完整约束；否则，此约束是非完整约束。因此，所有的完整约束与某些非完整约束可以用微分形式的方程式来表示。不是所有的非完整约束都可以这样表示。含有广义速度的非完整约束就不能这样表示。所以，假若知道一个约束的微分形式的约束方程式，这约束到底是完整约束，还是非完整约束，需要看微分形式的约束方程式能否积分来决定。

半完整系统

表示非完整约束的方程式往往比较复杂。因此，非完整系统也比较难分析，只有简易一点的非完整系统能用形式论来分析。假如，一个非完整系统的约束可以用以下方程式表示：

${\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n}$；

则称此系统为半完整系统^[1]；这里，${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$是广义速度。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}=0}$；

这里，${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)}$是未知函数。

假设哈密顿原理成立，则下述方程式成立：

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ L\ dt=0}$；

这里，${\displaystyle L}$是拉格朗日量，${\displaystyle t_{1}}$ 与${\displaystyle t_{2}}$分别为积分的时间下限与上限。经过变分法运算，可以得到方程式

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right)\delta q_{j}\ dt=0}$。

由于这${\displaystyle N}$个广义座标中，仍旧有${\displaystyle n}$个不独立广义座标，不能将拉格朗日方程式提取出来；必须加入拉格朗日乘子项目：

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \left(L+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}\right)\ dt=0}$。

经过变分法运算，可以得到方程式

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)+{\mathcal {F}}_{j}\right)\delta q_{j}\ dt=0}$ ;

这里，${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$是广义力的${\displaystyle j}$分量：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}=\sum _{i}\ \left[{\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right]}$。

虽然还有${\displaystyle n}$个不独立广义座标，仍旧可以调整${\displaystyle n}$加入的拉格朗日乘子，使总和公式内的每一个虚位移${\displaystyle \delta q_{j}}$的系数都等于0。因此，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}={\mathcal {F}}_{j}}$。

这${\displaystyle N}$个方程式加上${\displaystyle n}$个约束方程式，给予了${\displaystyle N+n}$个方程式来解${\displaystyle N}$个未知广义座标与${\displaystyle n}$个拉格朗日乘子。

实例

非完整系统至少存在于以下三个状况：

1. 物体在做滚动运动。
2. 系统的约束包括不等式。
3. 系统的约束与速度有关（例如普法夫约束）。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 完整系统
• 定常系统
• 单演系统
• 保守系统
• 平行停车问题
• 落猫问题
• 自行车及摩托车的动力学