考虑常微分方程
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da9a469600ad22b47c72ac29e5705592594d712)
初始条件是
。考虑格点
,0 ≤ k ≤ n,意思是,时间间隔是
,且
。用最简单的显式和隐式方法将此方程式离散化,分别是“前向欧拉方法”及“后向欧拉方法”,并且比较其差异。
- 前向欧拉方法
用不同的积分法所得的结果
,
.
前向欧拉方法

可得

对所有
,这是
的显式公式。
- 后向欧拉方法
用后向欧拉方法

可以得到
的隐式方程

比较上式和公式(3),公式(3)的
可以直接求得,而此处是方程式中的未知数,需要求解。
这是一元二次方程,有一个正根和一个负根,因为其初值为正,选择其正根,则下一步的
为

大部分的隐式方程中,要求解的方程会比一元二次方程复杂的多,也有可能不存在解析解,因此需要用其他求根算法(例如牛顿法)来求得数值解。
- 克兰克-尼科尔森方法
用克兰克-尼科尔森方法

可以求得
的隐式方程

这可以用求根算法(例如牛顿法)来求得
的数值解。
克兰克-尼科尔森方法可以视为是通用的IMEX(Implicit-Explicit,隐式-显式)架构。
- 前向-后向欧拉方法
用前向欧拉方法以及前向-后向欧拉方法,在
和
下的结果
为了应用IMEX架构,考虑另一个微分方程:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18ea769b80c985190a3cdd00aab67ab5e172ee8)
可以得到
![{\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\ t\in [0,a]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b04b3efd989e303c961793557c8ace14d9ab2d5)
因此

针对