马丁公理

在数学的集合论中，马丁公理（Martin's axiom）是一个由唐纳德·A·马丁（英语：Donald A. Martin）和罗伯特·M·梭罗维（英语：Robert M. Solovay）引进的^[1]公理，这公理独立于惯常的、带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。这公理在连续统假设成立的状况下成立，但也与否定连续统假设的ZFC公理系统相容。

用较不正式的讲法，马丁公理讲的是任何小于连续统${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$的基数，其行为会与${\displaystyle \aleph _{0}}$大体类似。这公理背后的想法可借由研究罗修娃－西葛斯基引理的证明得知；而这是用以控制特定力迫论证的其中一个原则。

陈述

给定任意的基数${\displaystyle \kappa }$，我们可以定义一个如下的陈述，并将这陈述给记做${\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )}$：

对于任意满足可数链条件的偏序${\displaystyle P}$及任意${\displaystyle P}$的稠密集的集族${\displaystyle D}$而言，若${\displaystyle D\leq \kappa }$，则存在一个${\displaystyle P}$上的滤子${\displaystyle F}$，使得对于任意的${\displaystyle d\in D}$而言，${\displaystyle F\cap d}$非空。

由于这是一个使得${\textstyle \operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})}$不成立的ZFC定理之故，因此马丁公理可表述如下：

马丁公理（MA）：对于任意的${\displaystyle \kappa <{\mathfrak {c}}}$，${\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )}$成立

在这情况（应用可数链条件）下，一个反链${\displaystyle A}$是${\displaystyle P}$的子集，且这子集使得${\displaystyle A}$的任意两个元素不兼容（若在偏序中存在一个低于两者的共通元素，则说两个元素是兼容的），而这与树等情况下的反链是不同的。

${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{0})}$为真，而这即是罗修娃－西葛斯基引理。

${\textstyle \operatorname {MA} (2^{\aleph _{0}})}$为假：${\displaystyle \left[0,1\right]}$是一个紧致豪斯多夫空间，因此是个可分空间并满足可数链条件。这集合没有孤立点，因此其中的点是无处稠密的；但这集合是${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$这么多的点的联集。（也可参见下述的与${\displaystyle \operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})}$等价的条件）

与 MA ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )} 等价的陈述

以下陈述与${\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )}$等价：

• 若${\displaystyle X}$是一个满足可数链条件的紧致豪斯多夫空间，那${\displaystyle X}$不会是${\displaystyle \kappa }$个或更少的无处稠密集的联集。
• 若${\displaystyle P}$是一个上升的、满足可数链条件的偏序集，而${\displaystyle Y}$是${\displaystyle P}$的余有限子集的集族，且${\displaystyle \left\vert Y\right\vert \leq \kappa }$，则存在一个向上的集合${\displaystyle A}$使得${\displaystyle A}$会见所有${\displaystyle Y}$的元素。
• 若${\displaystyle A}$是一个满足可数链条件的非零布尔代数而${\displaystyle F}$是${\displaystyle A}$的子集的集族，且${\displaystyle \left\vert F\right\vert \leq \kappa }$，那就存在一个布尔同态${\displaystyle \Phi :A\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$，使得对于任意${\displaystyle F}$中的${\displaystyle X}$而言，要不有一个${\displaystyle a\in X}$，使得${\displaystyle \Phi (a)=1}$，要不有个${\displaystyle X}$有个上界${\displaystyle b}$，使得${\displaystyle \Phi (b)=0}$

结果

马丁公理在组合数学、数学分析跟拓朴学上有许多有其他有趣的结果：

• 在波兰空间上的无原子σ-有限博雷尔测度中，${\displaystyle \kappa }$个或更少的零测集依旧是零测集；不仅如此，实数集的${\displaystyle \kappa }$个或更少的勒贝格测度为零的子集的联集，其勒贝格测度为零。
• 对于一个紧致豪斯多夫空间${\displaystyle X}$而言，若${\displaystyle \left\vert X\right\vert \leq 2^{\kappa }}$，则这空间是序列紧致的，也就是说这空间中的每个序列都有一个收敛子序列。
• 在${\displaystyle \mathbb {N} }$上，没有任何非主要的超滤子的基本基数会小于${\displaystyle \kappa }$。
• 等价地，对于任意的${\displaystyle x\in \beta \mathbb {N} \ \mathbb {N} }$，有${\displaystyle \chi (x)\geq \kappa }$，此处的${\displaystyle \chi }$是${\displaystyle x}$的特征（英语：Cardinal function），因此${\displaystyle \chi (\beta \mathbb {N} )\geq \kappa }$。
• ${\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{1})}$蕴含说满足可数链条件的拓朴空间的乘积依旧满足可数链条件，而这结果又蕴含说苏斯林线（英语：Suslin line）不存在。
• 若马丁公理成立，而连续统假设不成立，那就表示存在有非自由的怀特海群（Whitehead group）；细拉（英语：Saharon Shelah）用这结果证明说怀特海问题独立于ZFC。

后续发展

• 马丁公理的一般化版本为真力迫公理（英语：proper forcing axiom）以及马丁最大值（英语：Martin's maximum）。
• 谢尔顿·W·戴维斯（Sheldon W. Davis）在他的说中提出马丁公理是受到贝尔纲定理的启发而来的。^[2]