高斯-卢卡斯定理

高斯-卢卡斯定理，又称卢卡斯定理，该定理描述了复系数多项式的一个性质：多项式导数的根一定在原多项式的根所构成的凸包内。

这一结论曾在1836年被高斯直接使用，1874年由菲利克斯·卢卡斯（英语：Félix Lucas）证明^[1]。

动机

二次多项式${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ 的导数${\displaystyle P'}$的根为原多项式${\displaystyle P}$的两个根的平均数。

同样地，如果一个 ${\displaystyle n}$次多项式有 ${\displaystyle n}$ 个两两不同的实值零点${\displaystyle x_{1}<x_{2}<...<x_{n}}$，根据罗尔定理，其导数的每个零点都位于区间 ${\displaystyle [x_{1},x_{n}]}$之中。

高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。

表述

设 ${\displaystyle P}$ 是一个非常数的复系数多项式，那么${\displaystyle P'}$的所有根都属于由${\displaystyle P}$的根构成的凸包。

证明

将多项式函数P写成复数下的不可约形式：${\displaystyle P(z)=c\prod _{i=1}^{r}(z-a_{i})^{n_{i}}}$ ，其中复数${\displaystyle c}$ 是多项式的主系数、${\displaystyle a_{i}}$ 是多项式的根、${\displaystyle n_{i}}$ 为各个根的重数。

首先注意到：

${\displaystyle {\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}}$

假设复数${\displaystyle z}$满足：

${\displaystyle P^{\prime }(z)=0\quad {\hbox{且}}\quad P(z)\neq 0,}$

因此：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}=0\quad }$

乘以共轭取模

${\displaystyle \quad \ \sum _{i=1}^{r}n_{i}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0,}$

写成如下形式：

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}.}$

此时，可以将${\displaystyle z}$看成是${\displaystyle n}$个位于 ${\displaystyle a_{i}}$的质点的重心，因此在其构成的凸包内。

另一种${\displaystyle P(z)=0}$情况下的证明是显然的。