树状数组

树状数组或二元索引树（英语：Binary Indexed Tree，简称 BIT），又以其发明者命名为芬威克树（英语：Fenwick tree），最早由彼得·M·芬威克（Peter M. Fenwick）于1994年以《A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables》^[1]为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩里的累积频率（Cumulative Frequency）的计算问题，现多用于高效计算数列的前缀和， 区间和。它可以以${\displaystyle O(\log n)}$的时间得到任意前缀和${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}A[i],1<=j<=N}$，并同时支持在${\displaystyle O(\log n)}$时间内支持动态单点值的修改。空间复杂度${\displaystyle O(n)}$。

树状数组
类型	二叉树
发明时间	1989年
发明者	鲍里斯·里亚布科
用大O符号表示的时间复杂度
算法 平均 最差 空间 ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ 搜索 ${\displaystyle O(\log n)}$ ${\displaystyle O(\log n)}$ 插入 ${\displaystyle O(\log n)}$ ${\displaystyle O(\log n)}$

根据数组[1, 2, 3, 4, 5]来创建对应的树状数组

结构起源

按照彼得·M·芬威克的说法，正如所有的整数都可以表示成2的幂和，我们也可以把一串序列表示成一系列子序列的和。采用这个想法，我们可将一个前缀和划分成多个子序列的和，而划分的方法与数的2的幂和具有极其相似的方式。一方面，子序列的个数是其二进制表示中1的个数，另一方面，子序列代表的f[i]的个数也是2的幂。^[2][3][4]

基本操作

预备函数

定义一个lowbit函数，返回参数转为二进制后,最后一个1的位置所代表的数值。

例如，lowbit(34)的返回值将是2；而lowbit(12)返回4；lowbit(8)返回8。

将34转为二进制为(0010 0010)₂。这里的“最后一个1”指的是从${\displaystyle 2^{0}}$位往前数，见到的第一个1，也就是${\displaystyle 2^{1}}$位上的1。

程序上，(~i + 1) & i表明了最后一位1的值。

仍然以34为例，~(0010 0010)的结果是1101 1101（221），加1后为1101 1110（222），把0010 0010与1101 1110作AND，得0000 0010（2）。

lowbit的一个简便求法:（C++）

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

新建

定义一个数组 BIT，用以维护${\displaystyle A}$的前缀和，则：${\displaystyle BIT_{i}=\sum _{j=i-lowbit(i)+1}^{i}A_{j}}$

具体能用以下方式实现：（C++）

void build()
{ 
    for (int i = 1; i <= MAX_N; i++)
    {
        BIT[i] += A[i - 1];
        int j = i + lowbit(i);
        if (j <= MAX_N) { 
            BIT[j] += BIT[i];
        }
    }
}
//此地方採用類似動態規劃的方式初始化

修改

假设现在要将${\displaystyle A[i]}$的值增加delta，

那么，需要将${\displaystyle BIT[i]}$覆盖的区间包含${\displaystyle A[i]}$的值都加上delta，

这个过程可以写成递归，或者普通的循环。

需要计算的次数与数据规模N的二进制位数有关，即这部分的时间复杂度是${\displaystyle O(\log {N})}$。

修改函数的C++写法：

void edit(int i, int delta)
{
    for (int j = i; j <= MAX_N; j += lowbit(j))
        BIT[j] += delta;
}

求和

假设我们需要计算${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}A_{i}}$的值。

1. 首先，将ans初始化为0，将i初始化为k。
2. 将ans的值加上BIT[i]。
3. 将i的值减去lowbit(i)。
4. 重复步骤2～3，直到i的值变为0。

求和函数的C/C++写法：

int sum (int k)
{
    int ans = 0;
    for (int i = k; i > 0; i -= lowbit(i))
        ans += BIT[i];
    return ans;
}

时空复杂度

• 初始化复杂度最优为：${\displaystyle O(N)}$
• 单次询问复杂度：${\displaystyle O(\log N)}$，其中N为数组大小
• 单次修改复杂度：${\displaystyle O(\log N)}$，其中N为数组大小
• 空间复杂度：${\displaystyle O(N)}$

扩展

树状数组可以通过维护差分数组来处理区间修改和单点查询。具体地，当我们在 ${\displaystyle [l,r]}$ 增加 ${\displaystyle d}$ 时只需执行 edit(l,d) 和 edit(r+1,-d) 。查询则与单点修改区间查询相似。

应用

求逆序对数^[5]

逆序对数是一个数列中在它前面有比它大的个数。如4312的逆序对数是0+1+2+2=5。

可以先把数列中的数按大小顺序转化成${\displaystyle 1}$到${\displaystyle n}$的整数（离散化），使得原数列成为一个${\displaystyle 1,2,...,n}$的排列${\displaystyle P}$，创建一个树状数组，用来记录这样一个数组${\displaystyle A}$（下标从1算起）的前缀和：若排列中的数${\displaystyle i}$当前已经出现，则${\displaystyle A[i]}$的值为${\displaystyle 1}$，否则为${\displaystyle 0}$。初始时数组${\displaystyle A}$的值均为${\displaystyle 0}$，从排列中的最后一个数开始遍历，每次在树状数组中查询有多少个数小于当前的数${\displaystyle P[j]}$（即用树状数组查询数组${\displaystyle A}$目前${\displaystyle P[j]-1}$个数的前缀和）并加入计数器，之后对树状数组执行修改数组${\displaystyle A}$第${\displaystyle P[j]}$个数值加${\displaystyle 1}$的操作。