卢曼-缅绍夫定理

卢曼-缅绍夫定理（英语：Looman–Menchoff theorem）是复分析中的一条定理，可用于判断复函数的解析性。该定理指出，定义在复平面上某个区域内的连续函数是解析函数，当且仅当其视作${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$的映射时，四个偏导数处处存在且满足柯西-黎曼方程。该定理由卢曼于1923年提出，于1931年由缅绍夫给出完整证明。虽然定理涉及初等数学领域，但其证明需运用现代实变函数理论。^[1][2]

背景

定义在复平面内的区域上的复解析函数${\displaystyle f{(x+iy)}=u+iv}$在整个定义域内满足柯西-黎曼方程：^[1][2]

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y},}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}$

上述命题的部分逆命题亦成立，例如：额外假定${\displaystyle f}$作为实函数在区域内处处可微，或是假定${\displaystyle f}$的偏导数处处连续，同时满足柯西-黎曼方程，均可推出${\displaystyle f}$是区域内的解析函数；其中前一个命题由爱徳华·古尔萨（英语：Édouard Goursat）在1900年证明，又被称为古尔萨定理。^[3]实际上，这些附加条件存在放宽的余地。^[1]20世纪初，人们对放宽函数解析性的判定条件这一问题开展了大量的研究。1905年，迪米特里耶·蓬佩尤（英语：Dimitrie Pompeiu）指出，古尔萨定理的附加条件可以放宽到“函数在区域内几乎处处可微”。之后，卢曼和迪米特里·缅绍夫（英语：Dmitrii Menshov）在这一领域做出了重要的贡献。^[2][3]

卢曼注意到，仅仅假定偏导数在区域内处处存在，且满足柯西-黎曼方程，并不足以保证函数在区域上的解析性——甚至不能保证函数在其上的连续性：如下定义的复变函数，在复平面上处处可求偏导，且偏导数满足柯西-黎曼方程，但它在原点处并不解析：^[1]

${\displaystyle f(z)=\left\{{\begin{aligned}\exp(-z^{-4}),&&{z\neq 0}\\0,&&{z=0}\end{aligned}}\right.}$

1923年，卢曼断言只要附加函数在区域上连续的条件，就可以推出函数的解析性，从而强化了古尔萨定理。然而，卢曼当时的证明中存在一个漏洞。缅绍夫于1931年发表的证明则弥补了这一漏洞，他的证明用到了勒贝格积分和贝尔纲定理。1933年，数学家斯坦尼斯拉夫·萨克斯（英语：Stanislaw Saks）回顾了这一证明，并将其命名为“卢曼-缅绍夫定理”。^[3][4]萨克斯对该证明评价甚高：“毫无疑问，它是现代实变函数理论在初等数学领域最优美和令人意外的应用之一”。^[1]

定理的陈述和证明

设${\displaystyle D}$为复平面${\displaystyle \mathbb {C} }$上的开集，${\displaystyle f{(x+iy)}=u+iv}$为定义在${\displaystyle D}$上的连续复变函数。若偏导数${\displaystyle \partial u \over \partial x}$、${\displaystyle \partial v \over \partial y}$、${\displaystyle \partial u \over \partial y}$、${\displaystyle \partial v \over \partial x}$在${\displaystyle D}$上处处存在且处处满足柯西-黎曼方程，则${\displaystyle f}$为${\displaystyle D}$上的解析函数。

引理

为证明卢曼-缅绍夫定理，需要先证明如下引理：^[1][4][5]

设${\displaystyle R}$为${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上的正方形，${\displaystyle f}$为${\displaystyle R}$到${\displaystyle \mathbb {R} }$的映射，且在${\displaystyle R}$内处处可求偏导。若存在${\displaystyle R}$的某个非空闭集${\displaystyle E}$和正数${\displaystyle N}$，使得：

${\displaystyle \forall (x,y)\in E,(w,y)\in R,(x,v)\in R:\left|f(x,y)-f(x,v)\right|\leqslant N\left|y-v\right|,\left|f(x,y)-f(w,v)\right|\leqslant N\left|x-w\right|}$

记${\displaystyle [a,b]\times [c,d]}$为包含${\displaystyle E}$的最小矩形，则有：

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}(f(x,d)-f(x,c))dx-\int _{E}{\partial f \over \partial y}d\sigma \right|\leqslant 5Nm(R-E)}$

${\displaystyle \left|\int _{c}^{d}(f(b,y)-f(a,y))dy-\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma \right|\leqslant 5Nm(R-E)}$

其中${\displaystyle m(A)}$代表集合${\displaystyle A}$的测度。为证明该引理，可以先考虑一维的情形。这时，${\displaystyle R}$为实轴上的区间${\displaystyle [a,b]}$，而${\displaystyle E}$为其内一个闭集。可以在${\displaystyle R}$上定义一个辅助函数，它在${\displaystyle E}$内取${\displaystyle f}$，在${\displaystyle I-R}$内取分段线性函数，并保持边界处连续。可以证明，该辅助函数在整个${\displaystyle R}$上利普希茨连续，因此绝对连续，几乎处处可导，且导函数可积。而${\displaystyle E}$的孤立点集至多可数，在${\displaystyle E}$非孤立点集上，辅助函数和${\displaystyle f}$的导数又几乎处处相等。故而：

${\displaystyle \left|f(b)-f(a)-\int _{E}{\partial f \over \partial x}dx\right|\leqslant Nm(R-E)}$

回到引理，由于${\displaystyle [a,b]\times [c,d]}$是包含闭集${\displaystyle E}$的最小矩形，在区间${\displaystyle [c,d]}$上必然存在点${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$，使得${\displaystyle (a,\alpha ),(b,\beta )\in E}$。对${\displaystyle [c,d]}$上的任何一点${\displaystyle \chi }$，都有：

${\displaystyle |f(a,\chi )-f(b,\chi )|\leqslant |f(a,\chi )-f(a,\alpha )|+|f(a,\alpha )-f(b,\alpha )|+|f(b,\alpha )-f(b,\beta )|+|f(b,\beta )-f(b,\chi )|\leqslant 4NL}$

其中${\displaystyle L}$为${\displaystyle R}$的边长。记${\displaystyle E}$中所有点纵坐标的集合为${\displaystyle A}$，${\displaystyle A}$在${\displaystyle [c,d]}$中的补集为${\displaystyle B}$。则${\displaystyle f(a,\chi )-f(b,\chi )}$在${\displaystyle B}$上的积分满足：

${\displaystyle |\int _{B}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi |\leqslant \int _{B}4NLd\chi \leqslant 4Nm(R-E)}$

另一方面，${\displaystyle \forall \chi \in A}$，可以证明${\displaystyle E_{\chi }=\{(\phi ,\chi )|(\phi ,\chi )\in E\}}$是闭集。因此，对连接${\displaystyle (a,\chi )}$和${\displaystyle (b,\chi )}$的线段使用上述一维情形的结论，可知：

${\displaystyle \left|f(b,\chi )-f(a,\chi )-\int _{E_{\chi }}{\partial f \over \partial x}dx\right|\leqslant N(b-a-m(E_{\chi }))}$

将上式在${\displaystyle A}$上积分，并将重积分化作累次积分，可得：

${\displaystyle |\int _{A}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi -\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma |\leqslant Nm(R-E)}$

注意到下式即可证明引理：

${\displaystyle |\int _{E}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi -\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma |\leqslant |\int _{B}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi |+|\int _{A}(f(a,\chi )-f(b,\chi ))d\chi -\int _{E}{\partial f \over \partial x}d\sigma |\leqslant 5Nm(R-E)}$

证明概要

记${\displaystyle E}$为${\displaystyle D}$中${\displaystyle f}$不解析的点的集合。利用反证法：假设${\displaystyle E}$非空，只需证明存在${\displaystyle E}$的一个子集，使得${\displaystyle f}$在其上解析，即可推出矛盾，进而说明原命题成立。

利用解析性和围道积分的关系可以证明${\displaystyle E}$是一个闭集。定义${\displaystyle E_{n}}$为${\displaystyle D}$的具备如下性质的子集：

${\displaystyle E_{n}=\{z|z\in D,\left|f(z+h)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\left|f(z+ih)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\forall h\in \mathbb {R} ,D(z,h)\subset D,\left|h\right|\leqslant 1/n\}}$

由${\displaystyle f}$的连续性和处处可求偏导的性质分别可以推出${\displaystyle E_{n}}$是闭集，且${\displaystyle E\subset D\subseteq \cup _{n=1}^{\infty }E_{n}}$。因此，由贝尔纲定理，必然至少存在一个${\displaystyle E_{k}}$和${\displaystyle D}$中开集${\displaystyle K}$，使得${\displaystyle \emptyset \neq E\cap K\subseteq E_{k}}$。

设${\displaystyle Q}$是${\displaystyle K}$中任意一个边长小于${\displaystyle 1/k}$，且交${\displaystyle E}$非空的正方形。可证${\displaystyle u(x+iy)}$、${\displaystyle v(x+iy)}$作为${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$的映射，均满足引理要求的一切条件。因此，在包含${\displaystyle E\cap Q}$的最小矩形${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$上：

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}(v(x,d)-v(x,c))dx-\int _{E\cap Q}{\partial v \over \partial y}d\sigma \right|\leqslant 5km(Q-{E\cap Q})}$

${\displaystyle \left|\int _{c}^{d}(u(b,y)-u(a,y))dy-\int _{E\cap Q}{\partial u \over \partial x}d\sigma \right|\leqslant 5km(Q-{E\cap Q})}$

注意到${\displaystyle u}$、${\displaystyle v}$满足柯西-黎曼方程，可以得到对${\displaystyle f}$在${\displaystyle R}$边界上积分的虚部估计式：

${\displaystyle \left|Im\oint _{\partial R}fdl\right|\leqslant \left|\int _{a}^{b}(v(x,d)-v(x,c))dx-\int _{E\cap Q}{\partial v \over \partial y}d\sigma \right|+\left|\int _{c}^{d}(u(b,y)-u(a,y))dy-\int _{E\cap Q}{\partial u \over \partial x}d\sigma \right|\leqslant 10km(Q-{E\cap Q})}$

显然该积分的实部也满足类似的估计式。因此：

${\displaystyle \left|\oint _{\partial R}fdl\right|={\sqrt {\left|Im\oint _{\partial R}fdl\right|^{2}+\left|Re\oint _{\partial R}fdl\right|^{2}}}\leqslant 10{\sqrt {2}}km(Q-{E\cap Q})}$

依定义，${\displaystyle f}$在${\displaystyle Q-R}$内解析，因此可将上式中的积分围道由${\displaystyle R}$的边界扩大为${\displaystyle Q}$的边界：

${\displaystyle \left|\oint _{\partial Q}fdl\right|\leqslant 10{\sqrt {2}}km(Q-{E\cap Q})}$

记${\displaystyle Q_{n}\subset K}$是任意一串收敛到${\displaystyle z\in K}$的正方形序列。若${\displaystyle z\in E}$，当${\displaystyle n}$充分大时，所有${\displaystyle Q_{l}\subset K,l>n}$的边长都小于${\displaystyle 1/k}$，因此：

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}\leqslant 10{\sqrt {2}}k<+\infty }$

${\displaystyle 0\leqslant \liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}\leqslant 10{\sqrt {2}}k(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {m(Q_{n}\cap E)}{m(Q_{n})}})}$

由勒贝格密度定理（英语：Lebesgue's density theorem），第二式右侧的极限作为${\displaystyle z}$的函数几乎处处为1，因此左侧的下极限几乎处处为零。

若${\displaystyle z\in K-K\cap E}$，当${\displaystyle n}$充分大时，${\displaystyle f}$在所有${\displaystyle Q_{l}\subset K,l>n}$内解析，因此：

${\displaystyle 0=\liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|\oint _{\partial Q_{n}}fdl\right|}{m(Q_{n})}}<+\infty }$

将围道积分视为集合函数，上述极限以及围道积分的连续性和可加性保证了围道积分几乎处处可导，且围道积分的值由导函数在集合上的积分给出。又因上述下极限在${\displaystyle K}$上几乎处处为零，该导数在${\displaystyle K}$上也几乎处处为零。这意味着${\displaystyle f}$在${\displaystyle K}$内的围道积分恒为零，即${\displaystyle f}$在${\displaystyle K}$乃至${\displaystyle E}$的子集${\displaystyle E\cap K}$内解析。矛盾。^[1][4][5][6]