狄拉克δ函数
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在科学和数学中,狄拉克δ函数或简称δ函数(译名德尔塔函数、得耳他函数)是在实数线上定义的一个广义函数或分布。它在除零以外的点上都等于零,且其在整个定义域上的积分等于1。[1][2][3]δ函数有时可看作是在原点处无限高、无限细,但是总面积为1的一个尖峰,在物理上代表了理想化的质点或点电荷的密度。[4]
从纯数学的观点来看,狄拉克δ函数并非严格意义上的函数,因为任何在扩展实数线上定义的函数,如果在一个点以外的地方都等于零,其总积分必须为零。[5][6]δ函数只有在出现在积分以内的时候才有实质的意义。根据这一点,δ函数一般可以当做普通函数一样使用。
狄拉克δ函数得名自物理学家保罗·狄拉克,其形式上所遵守的规则属于运算微积分(英语:operational calculus)的一部分,是物理学和工程学的标准工具。包括δ函数在内的运算微积分方法,在20世纪初受到数学家的质疑,直到1950年代洛朗·施瓦茨才发展出一套令人满意的严谨理论。[3]严谨地来说,δ函数必须定义为一个分布,对应于支撑集为原点的概率测度。
在许多应用中,均将δ视为由在原点处有尖峰的函数所组成的序列的极限(弱极限(英语:weak limit)),而序列中的函数则可作为对δ函数的近似。在讯号处理上,δ函数常称为单位脉冲符号或单位脉冲函数。[7]克罗内克δ函数是对应于狄拉克δ函数的离散函数,其定义域为离散集,值域可以是0或者1。