一矩阵

在数学中，一矩阵又称为全一矩阵，是指所有元素皆为1的矩阵^[1]，通常以符号${\displaystyle J}$来表示，并以下标符号表示矩阵的维度^[2]，例如：

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

此条目的主题是所有元素皆为1的矩阵。关于主对角线元素为1、其馀元素为0的矩阵，请见“单位矩阵”。

部分文献将之称为单元矩阵或单位矩阵（英语：unit matrix^[3][2]）。但“单位矩阵”一词更常代表主对角线为一、其馀为零的单位矩阵^[3][4]:71，两者是不同的矩阵。

类似地，一向量或全一向量是指只所有元素皆为1的向量，可以视为有一行或只有一列的全一矩阵，其也不应与单位向量混淆。

特别地，${\displaystyle 1\times 1}$的全一矩阵与单位矩阵是等价的，即${\displaystyle I_{1}=J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$。对于所有维度大于或等于2的全一矩阵，若其为方阵，则其行列式为0。^[2]

性质

所有的${\displaystyle n\times n}$的全一方阵（为方阵的全一矩阵）${\displaystyle J_{n}}$有以下性质：

• ${\displaystyle J_{n}}$的迹为${\displaystyle n}$^[5]
• 若${\displaystyle n\geq 2}$，${\displaystyle J_{n}}$的行列式为${\displaystyle \det J_{n}=0}$。对于小于2的情况，行列式为1，即${\displaystyle \det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$。（若也将${\displaystyle n=0}$考虑进来，则若将空矩阵也视为一种全一矩阵，则其行列式也为1^[6]）
• 全一矩阵${\displaystyle J_{n}}$的特征多项式为${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$
• 全一矩阵${\displaystyle J_{n}}$的极小多项式为${\displaystyle (x-n)x}$
• 全一矩阵${\displaystyle J_{n}}$的秩为1、特征值为${\displaystyle n}$（代数重数为1）和0（代数重数为${\displaystyle n-1}$）^[7]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$，其中${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$^[8]
• 全一矩阵${\displaystyle J}$是阿达玛乘积的单位元^[9]

当全一矩阵${\displaystyle J}$在实矩阵运算时，以下附加性质成立：

• 全一矩阵${\displaystyle J}$为半正定矩阵
• ${\displaystyle {\frac {1}{n}}J_{n}}$为幂等矩阵^[8]
• 全一矩阵${\displaystyle J}$的矩阵指数为${\displaystyle \exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}}$

应用

全一矩阵可以应用于数学领域中的组合学，特别是在涉及代数方法的图论中。举例来说，如果${\displaystyle A}$是${\displaystyle n}$个顶点无向图${\displaystyle G}$的邻接矩阵，且${\displaystyle J}$是与${\displaystyle A}$相同维度的全一矩阵，则若${\displaystyle AJ=JA}$时，${\displaystyle G}$为正则图，反之亦然。^[10]

参见

• 零矩阵
• 矩阵单元