克拉克森不等式

数学的克拉克森不等式是L^p空间上的一个结果，用两个可测函数的L^p范数，来表示它们的和及差的L^p范数的上界。这不等式是平行四边形恒等式的一个推广。

不等式叙述

设${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$是测度空间，${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$是在${\displaystyle L^{p}(X)}$空间内的可测函数。当${\displaystyle 2\leq p<+\infty }$时，有

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)}$；

当${\displaystyle 1<p<2}$时，有

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}}}$，

其中${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$，即${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}}$。

${\displaystyle p>2}$的情形较易证明，可以简单地用三角不等式和函数

${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$

的凸性证出。

外部链接

• Clarkson inequality at PlanetMath.