实值函数

实值函数是值域为实数的函数，也就是可以为其定义域的每个成员都指定一个实数。

以克为单位的质量是一个实值函数的例子。

实变数的实值函数（实函数）和实值的多实变数函数（英语：functions of several real variables）是微积分学和实变函数论研究的主要主题。许多函数空间都包括实值函数。

代数结构

令${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$是从集合X到实数${\displaystyle \mathbb {R} }$所有函数的集合。因为${\displaystyle \mathbb {R} }$是个域，${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$可以变成实数上的向量空间和结合代数，有以下的运算：

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$ – 向量加法
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$ – 加法单位元
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$ – 标量乘法
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$ – 逐点乘法

上述运算可以延伸到X到${\displaystyle \mathbb {R} ,}$的偏函数，其限制是偏函数f + g和f g只在f和g的定义域交集不是空集合时才有定义，此例中，其定义域就是f和g定义域的交集。

因为${\displaystyle \mathbb {R} }$是有序集，存在以下的偏序关系

• ${\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),}$

在${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$，会使${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$成为部分有序环（英语：partially ordered ring）。

可测

参见：博雷尔可测函数

博雷尔集的The σ-代数是实数里的重要结构。若X有其σ-代数，且函数f使得任何博雷尔集 B的像f ⁻¹(B)都属于该σ-代数，则f是可测函数。可测函数会形成向量空间以及代数。

甚至，X上实值函数的集合可以定义σ-代数，是由所有博雷尔集的所有像所产生的。这也是σ-代数出现在（机率公设）概率论的原因，其中，样本空间Ω上的实值函数是实值随机变量。

连续

实数形成了拓扑空间和完备空间。连续实值函数（其中隐含了X是拓扑空间）在点集拓扑学理论中很重要。极值定理表示，针对紧空间中的任何连续实值函数，其全域极值（最大值和最小值）存在。

度量空间概念本身是用二个变数的实值函数来定义的，其度量是连续的。紧豪斯多夫空间上的连续函数（英语：continuous functions on a compact Hausdorff space）有其特别的重要性。收敛数列也可以视为是在特殊拓扑空间上的实值函数。

连续函数也形成向量空间，也有上述的几何结构，也是可测函数的子集合，因为所有的拓扑空间都会有由开集（或闭集）产生的σ-几何。

光滑

主条目：光滑函数

实数也是用来定义光滑函数的陪域（codomain）。实光滑函数的定义域可以是实坐标空间（英语：real coordinate space）（会得到实多变数函数（英语：real multivariable function））、拓扑向量空间,^[1]、上述的开集，或是光滑流形。

光滑函数的空间也是向量空间，也有上述的几何结构，也是连续函数空间的子集。

测度理论中的应用

集合的测度是其子集σ-几何上的非负实值泛函。集合上，有度量的L^p空间可由前述的实值可测函数｜real-valued measurable functions（英语：實值可測函數｜real-valued measurable functions）定义，不过他们其实是商空间。更准确地说，满足适当可积性的函数，定义了L^p空间的元素，但反过来说，对于任意f ∈ L^p(X)，x ∈ X，而x不是atom（英语：atom (measure theory)），f(x)的值未定义。不过，实值L^p空间仍有一些前述代数结构中的特质。每一个L^p空间都是向量空间，也都有偏序，也存在函数的逐点乘法，可以改变p，公式如下

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

例如，两个L²函数的点乘属于L¹。

其他领域的应用

其他会用到实值函数和其性质的领域包括单调函数（在偏序关系里）、凸函数（在向量和仿射空间）、调和函数和次调和函数（在黎曼流形）、解析函数（在一个或多个实数变数）、代数函数（在实代数簇）和（一个或多个实变数的）多项式

相关条目

• 实变函数论
• 偏微分方程，其中常出现实值函数
• 范数
• 标量 (数学)