态向量

在量子力学里，一个量子系统的量子态可以抽象地用态向量来表示。态向量存在于内积空间。定义内积空间为增添了一个额外的内积结构的向量空间。态向量满足向量空间所有的公理。态向量是一种特殊的向量，它也允许内积的运算。态向量的范数是1，是一个单位向量。标记量子态${\displaystyle \psi \,\!}$的态向量为${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$。

每一个内积空间都有单范正交基。态向量是单范正交基的所有基向量的线性组合：

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|e_{1}\rangle +c_{2}|e_{2}\rangle +\dots +c_{n}|e_{n}\rangle \,\!}$；

其中，${\displaystyle |e_{1}\rangle ,\,|e_{2}\rangle ,\,\dots ,\,|e_{n}\rangle \,\!}$是单范正交基的基向量，${\displaystyle n\,\!}$是单范正交基的基数，${\displaystyle c_{1},\,c_{2},\,\dots ,\,c_{n}\,\!}$是复值的系数，是${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$的分量，${\displaystyle c_{i}\,\!}$是${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$投射于基向量${\displaystyle |e_{i}\rangle \,\!}$的分量，也是${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$处于${\displaystyle |e_{i}\rangle \,\!}$的机率幅。

换一种方法表达：

${\displaystyle |\psi \rangle =(c_{1},\,c_{2},\,\dots ,\,c_{n})^{T}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\,\!}$。

在狄拉克标记方法里，态向量${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$称为右矢。对应的左矢为${\displaystyle \langle \psi |\,\!}$，是右矢的厄米共轭，用方程式表达为

${\displaystyle \langle \psi |=|\psi \rangle ^{\dagger }=(c_{1}^{*},\,c_{2}^{*},\,\dots ,\,c_{n}^{*})\,\!}$；

其中，${\displaystyle \dagger \,\!}$象征为取厄米共轭。

设定两个态向量${\displaystyle |\alpha \rangle =(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})^{T}\,\!}$，${\displaystyle |\beta \rangle =(b_{1},\,b_{2},\,\dots ,\,b_{n})^{T}\,\!}$。定义${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$内积${\displaystyle |\beta \rangle \,\!}$为

${\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\sum _{i}\ a_{i}^{*}b_{i}\,\!}$。

这内积的结果是一个复数。

性质

1）共轭复数

${\displaystyle |\beta \rangle \,\!}$内积${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$是${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$内积${\displaystyle |\beta \rangle \,\!}$的共轭复数：

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =\langle \alpha |\beta \rangle ^{*}\,\!}$。

2）归一性

定义${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$内积${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$的平方根为${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$的范数，标记为${\displaystyle |\alpha |\,\!}$。由于态向量满足归一性，态向量的范数必定等于1：

${\displaystyle |\alpha |={\sqrt {\langle \alpha |\alpha \rangle }}=1\,\!}$。

3）柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式阐明：

${\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle ^{2}\leq \langle \alpha |\alpha \rangle \langle \beta |\beta \rangle \,\!}$。

参考文献

费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 費曼物理學講義III (2)量子力學應用. 台湾: 天下文化书. 2006: pp. 10–17. ISBN 986-417-672-2. 引文格式1维护：冗余文本 (link)