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柯西-施瓦茨不等式
在許多不同的設置中遇到的有用的不等式,例如線性代數,分析,概率論,向量代數和其他領域。 它被認為是所有數學中最重要的不等式之一 来自维基百科,自由的百科全书
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柯西-施瓦茨不等式(英语:Cauchy–Schwarz inequality),又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式,在多个数学领域中均有应用的不等式;例如线性代数的矢量,数学分析的无穷级数和乘积的积分,和概率论的方差和协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式。
不等式以奥古斯丁-路易·柯西,赫尔曼·施瓦茨,和维克托·布尼亚科夫斯基命名。
叙述
是个复内积空间,则对所有的 有:
- (a)
- (b) 存在 使
证明请见内积空间#柯西-施瓦茨不等式。
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特例
这样根据一般内积空间的柯西不等式就可以得证,也可以如下依据实数的性质直接证明
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维复数空间事实上是个定义在域(也就是纯量母空间)上的复系数内积空间,只要对任意定义如下的内积函数:
这样根据一般内积空间的柯西不等式就有:
直接以复数性质证明的方法与一般内积空间的证明方法雷同:
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一般线性代数的书籍习惯将复数版本的柯西不等式以矩阵表示,换句话说,取:
这样的话,复数版本的柯西不等式可以重写为:
(注意到矩阵乘法偷懒地把只有一个元素的矩阵视为那个元素本身)
但这并没有产生任何新的性质。而等号成立地条件也只是换种说法,说成是与线性相关。
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- 。
- 原不等式可以增强至拉格朗日恒等式
- 。
- 这是
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同名的定理
是个复内积空间,如果,,如果对所有 都有,称是的一个正定算子(positive operator)。
类似的,如果对所有 都有,称是的一个对称算子(symmetric operator)。
如果是复内积空间的一个正定对称算子,则对于任意有:
考虑到对称算子在有有限基底的向量空间中都可以唯一的表示成某个埃尔米特矩阵,一般线性代数的书籍习惯以如下的形式表示:
正定算子对应的矩阵正好就是要求对应矩阵的元素都必须,所以正定对称算子对应的就是对称且非负的矩阵,据此上式可以进一步简写为:
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设 在区域及其边界上解析, 为内一点,以为圆心做圆周 ,只要及其内部均被包含,则有:
其中,M是的最大值, 。
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其它推广
若,则[4]
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参见
注释
参考资料
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