换位子群

在数学尤其是抽象代数中，群的换位子群或导群，另名交换子群，意指该群所有换位子所生成的子群，记作 ${\displaystyle [G,G]}$、${\displaystyle G'}$ 或 ${\displaystyle G^{(1)}}$ 。任意给定群均对应一个确定的换位子群。作为群 ${\displaystyle G}$ 的正规子群，换位子群 ${\displaystyle G'}$ 是使得 ${\displaystyle G}$ 对它的商群 ${\displaystyle G/G'}$ 交换的最小正规子群。换言之，换位子群表征群 ${\displaystyle G}$ 的可交换程度，根据换位子的定义 ${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$, ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle y}$ 交换，即 ${\displaystyle xy=yx}$, 当且仅当 ${\displaystyle [x,y]=e}$, 即，群内可交换的元素越多，换位子就越少，换位子群也就越小。显然，交换群的换位子群为平凡群${\displaystyle \{e\}}$.

换位子

主条目：换位子

对群元 ${\displaystyle g,\,h\in G}$, ${\displaystyle g}$ 与 ${\displaystyle h}$ 的换位子为 ${\displaystyle [g,\,h]=g^{-1}h^{-1}}$. 换位子 ${\displaystyle [g,\,h]}$ 等价于群幺 ${\displaystyle e}$ 当且仅当 ${\displaystyle gh=hg}$, 即二者交换。一般情况下，显然有 ${\displaystyle gh=hg[g,\,h]}$.

该记号的顺序任定，有下述不同的定义方式，此时换位子将左乘，而非右乘二者的积：

${\displaystyle [g,\,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$,

此时有 ${\displaystyle gh=[g,\,h]hg}$ 而非 ${\displaystyle gh=hg[g,\,h]}$.

对 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle h}$ 来说，群 ${\displaystyle G}$ 中形如 ${\displaystyle [g,\,h]}$ 的元即称其换位子。幺 ${\displaystyle e=[e,\,e]}$ 恒为换位子。群 ${\displaystyle G}$ 交换当且仅当其换位子群平凡，即 ${\displaystyle G'=\{e\}}$.

下例对群 ${\displaystyle G}$ 元 ${\displaystyle s,\,g,\,h}$ 成立：

1. ${\displaystyle [g,\,h]^{-1}=[h,\,g]}$;
2. ${\displaystyle [g,\,h]^{s}=[g^{s},\,h^{s}]}$，其中 ${\displaystyle g^{s}:=s^{-1}gs}$ 意指 ${\displaystyle g}$ 关于 ${\displaystyle s}$ 的共轭；
3. 由群同态保持：

   ${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \,&G\to H,\\&[g,\,h]\mapsto [f(g),\,f(h)].\end{aligned}}}$

前两者蕴含 ${\displaystyle G}$ 的换位子集对交换与共轭封闭。对第三条取 ${\displaystyle H=G}$, 即知换位子集稳定于 ${\displaystyle G}$ 的任意自同态，这正是第二条的一般情况，只需取 ${\displaystyle f}$ 作 ${\displaystyle G}$ 的共轭自同构：

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \,&G\to G\\&x\mapsto x^{s}:=s^{-1}xs,\end{aligned}}}$

即得第二条。

换位子的积未必是换位子。典例是由 ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ 生成的自由群内的 ${\displaystyle [a,\,b][c,\,d]}$. 已知存在两换位子其积非换位子的最小有限群，阶数为 96，在同构意义上有两种如此的 96 阶群。^[1]

定义

给定群 ${\displaystyle G}$，其换位子群 ${\displaystyle [G,G]}$（或称导群，记 ${\displaystyle G'}$ 或 ${\displaystyle G^{(1)}}$） 是 ${\displaystyle G}$ 的所有换位子所生成的子群：

${\displaystyle [G,G]=\{g^{-1}h^{-1}gh\,\colon \,g,h\in G\}.}$

由定义知，任意 ${\displaystyle [G,\,G]}$ 的元有形式

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}[g_{i},\,h_{i}]=[g_{1},\,h_{1}]\cdots [g_{n},\,h_{n}],\,n\in \mathbb {N} _{+},\,\forall i,\,g_{i},\,h_{i}\in G.}$

此外由

${\displaystyle \left(\prod _{i}[g_{i},\,h_{i}]\right)^{s}=\prod _{i}[g_{i}^{s},\,h_{i}^{s}]}$

知换位子群亦对 ${\displaystyle G}$ 正规。对任意同态 ${\displaystyle f\colon \,G\to H}$，

${\displaystyle f\colon \,\prod _{i}[a_{i},\,b_{i}]\mapsto \prod _{i}[f(a_{i}),\,f(b_{i})]=[f(a_{1}),\,f(b_{1})]\cdots [f(a_{n}),\,f(b_{n})],}$

故而 ${\displaystyle f([G,\,G])\subseteq [H,\,H].}$

这表明换位子群可视作群范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ 的函子，其部分含义将于下文探讨。此外倘取 ${\displaystyle G=H}$, 知换位子群于 ${\displaystyle G}$ 的任意自同态下稳定：换言之，${\displaystyle [G,\,G]}$ 为 ${\displaystyle G}$ 的全特征子群​（英语），这一性质远强于正规性。

换位子群亦定义作 ${\displaystyle G}$ 的子集

${\displaystyle \left\{\left.\prod _{i\in I}g_{i}\right|\,\exists \varphi \colon I\leftrightarrow I,\,\prod _{i\in I}g_{\varphi (i)}=e_{G},\,\forall i,\,g_{i}\in G,\,I\subset \mathbb {N} \right\},}$

即那些存在某种重排使得结果为幺的群元乘积构成的集合。

导集序列

导集能够迭代构造：

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=\left[G^{(n-1)},\,G^{(n-1)}\right],\quad n\in \mathbb {N} .}$

群 ${\displaystyle G^{(i)},i=2,\,3,\,\dots }$ 依次称 ${\displaystyle n}$ 阶导群。下降正规序列

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

即称导出序列。

对有限群而言，导出序列终止于完满群，其平凡与否皆有可能。而对于无限群，其导出序列不必终止于有限步，而可能以超限递归至持续无穷序数步，继而得到超限导出序列，其最终终止于群的完美核。

Abel 化

给定群 ${\displaystyle G}$, 商群 ${\displaystyle G/N}$ 交换当且仅当 ${\displaystyle [G,\,G]\subset N}$.

商群 ${\displaystyle G/[G,\,G]}$ 交换，称 ${\displaystyle G}$ 的 Abel 化，常记作 ${\displaystyle G^{\mathrm {ab} }}$ 或 ${\displaystyle G_{\mathrm {ab} }}$.

有范畴方向的实用诠释，映射 ${\displaystyle \varphi \colon \,G\to G^{\mathrm {ab} }}$. 换言之， ${\displaystyle \varphi }$ 泛于任意从 ${\displaystyle G}$ 到 Abel 群 ${\displaystyle H}$ 的同态，或称任意从 ${\displaystyle G}$ 到 Abel 群 ${\displaystyle G}$ 的同态均可经由 ${\displaystyle \varphi }$ 唯一分解：对任意 Abel 群 ${\displaystyle H}$ 与群同态 ${\displaystyle f\colon \,G\to H}$, 存在唯一同态 ${\displaystyle F\colon \,G^{\rm {ab}}\to H}$ 使得 ${\displaystyle f=F\circ \varphi }$. 正如由泛映射定义的对象通常所具的特点般，这表征 Abel 化子群 ${\displaystyle G^{\rm {ab}}}$ 在典范同构意义下的唯一性，而显示构造的 ${\displaystyle G\to G/[G,\,G]}$ 表征其存在性。

Abel 化函子是从 Abel 群范畴 ${\displaystyle {\mathsf {AbGrp}}}$ 到群范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ 的包含函子的左伴随。Abel 化函子 ${\displaystyle {\mathsf {AbGrp}}\to {\mathsf {Grp}}}$ 的存在性令范畴 ${\displaystyle {\mathsf {AbGrp}}}$ 拥有群范畴的反射子范畴，定义为其包含函子拥有左伴随的全子范畴。

${\displaystyle G^{\rm {ab}}}$ 另有一重要释义 ${\displaystyle H_{1}(G,\,\mathbb {Z} )}$, 群 ${\displaystyle G}$ 的整系数一阶同调群。

相关的群

群 ${\displaystyle G}$ 交换当且仅当其导群平凡：${\displaystyle [G,\,G]=\{e\}}$, 或等价地说，当且仅当其等于自身的 Abel 化。关于 Abel 化，定义见前述。

群 ${\displaystyle G}$ 完满当且仅当其导群等于自身：${\displaystyle [G,\,G]=G}$，或等价地说，当且仅当其 Abel 化平凡。这“相反”于阿贝尔群。

满足 ${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} ,\,G^{(n)}=\{e\}}$ 的群称可解群，这一条件宽于交换，亦即取 ${\displaystyle n=1}$ 的情形。

满足 ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,G^{(n)}\neq \{e\}}$ 的群称非可解群。

对序数 ${\displaystyle \alpha }$ 满足 ${\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}$ 的群称亚阿贝尔群，这一条件宽于可解，亦即取 ${\displaystyle \alpha <\infty }$ 的情形。

完满群

主条目：完满群

若群 ${\displaystyle G}$ 的导群等于自身，即 ${\displaystyle G^{(1)}=G}$, 称该群完满群，包含非交换单群及不动域 ${\displaystyle \mathbb {k} }$ 上的特殊线性群 ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {k} )}$.

例子

• 任意 Abel 群的换位子群均平凡。
• 域或除环 ${\displaystyle \mathbb {k} }$ 上的一般线性群 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {k} )}$ 的换位子群等于特殊线性群 ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {k} )}$, 若 ${\displaystyle n\neq 2}$, 或 ${\displaystyle \mathbb {k} }$ 不是拥有两个元素的域。
• 4 次交错群 ${\displaystyle A_{4}}$ 的换位子群即 Klein 四元群 ${\displaystyle V_{4}}$。
• ${\displaystyle n}$ 次对称群 ${\displaystyle S_{n}}$ 的换位子群即 ${\displaystyle n}$ 次交错群 ${\displaystyle A_{n}}$。
• 四元群 ${\displaystyle Q=\{1,\,-1,\,{\rm {i}},\,{\rm {-i}},\,{\rm {j}},\,{\rm {-j}},\,{\rm {k}},\,{\rm {-k}}\}}$ 的换位子群为 ${\displaystyle \{1,\,-1\}}$。

从 ${\displaystyle \operatorname {Out} }$ 出发的映射

由于导群是特征子群​（英语），任意 ${\displaystyle G}$ 上的自同构均诱导其 Abel 化子群上的自同构。由于 Abel 化子群本身是 Abel 群，内自同构平凡，从而得到映射

${\displaystyle \operatorname {Out} G\to \operatorname {Aut} G^{\rm {ab}}}$.