反射子范畴

数学中，范畴 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的全子范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 称在 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中反射，当且仅当从 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 到 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的包含函子拥有左伴随。该伴随亦称反射子或局部化。对偶地，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 称在 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中余反射，当且仅当包含函子具右伴随。

通俗而论，反射子实现一类完成操作，补全结构中所有“缺失”块，再而反射则无更多现象。

定义

范畴 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的全子范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 称于 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中反射，若对任意对象 ${\displaystyle B\in \operatorname {Ob} {\mathcal {B}}}$, 总存在对象 ${\displaystyle A_{B}\in \operatorname {Ob} {\mathcal {A}}}$ 与态射 ${\displaystyle r_{B}\colon \,B\to A}$, 使得对任意指向 ${\displaystyle A}$ 的态射 ${\displaystyle f\colon \,B\to A}$ 存在唯一 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的态射 ${\displaystyle {\bar {f}}\colon \,A_{B}\to A}$ 满足 ${\displaystyle {\bar {f}}\circ r_{B}=f}$.

有序对 ${\displaystyle \left(A_{B},\,r_{B}\right)}$ 称 ${\displaystyle B}$ 的 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射。态射 ${\displaystyle r_{B}}$ 称作 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射箭头。通常简洁起见而仅称 ${\displaystyle A_{B}}$ 作 ${\displaystyle B}$ 的 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射。

上述性质等价于称嵌入函子 ${\displaystyle E\colon \,{\mathcal {A}}\hookrightarrow {\mathcal {B}}}$ 为右伴随。而左伴随函子 ${\displaystyle R\colon \,{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}}$ 则称余反射子。映射 ${\displaystyle r_{B}}$ 为该伴随的单位。

反射子将 ${\displaystyle B}$ 投射到 ${\displaystyle A_{B}\in \operatorname {Ob} {\mathcal {A}}}$, 对 ${\displaystyle f\in \operatorname {Mor} {\mathcal {B}}}$, ${\displaystyle Rf}$ 由交换图确定：

Description for Reflective Subcategory in zh.wiki

若全部 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射箭头均（极）满​（英语），则认为子范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ （极）满反射。同样，认为其双反射，若所有反射箭头均为双态射​（英语）。

以上记号均为 ${\displaystyle E}$-反射子范畴的特例，其中 ${\displaystyle E}$ 为态射类。

类 ${\displaystyle \operatorname {Ob} {\mathcal {A}}}$ 的 ${\displaystyle E}$-反射包定义作涵盖 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的最小 ${\displaystyle E}$-反射子范畴。继而得以论述反射包、满反射包、极满反射包等概念。

反反射子范畴定义作 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的全子范畴，满足 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中拥有 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-反射箭头的所有对象均已存在于 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中。

由对偶原理，上述记号亦可推至余反射、余反射箭头、（单）余反射子范畴、余反射包、反余反射子范畴。

例子

代数

• Abel 群范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Ab}}}$ 是群范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ 的反射子范畴，其中反射子即 Abel 化每个群的函子。进一步说，群范畴亦是逆半群范畴的反射子范畴。
• 类似地，交换结合代数范畴是所有结合代数范畴的反射子范畴，其中反射子通过模去换位子理想构造，用于从张量代数构建对称代数​（英语）。
• 对偶地，反交换结合代数范畴亦是所有结合代数范畴的反射子范畴，其中反射子通过模去反换位子理想构造，用于从张量代数构造外代数。
• 域范畴是整环范畴（以环单同态作态射），反射子为递送整环到其分式域的函子。
• Abel 挠群范畴为 Abel 群范畴的余反射子范畴，余反射子为递送群为其挠子群的函子。
• 初等 Abel 群范畴、Abel p-群范畴、p-群范畴均为群范畴的反射子范畴。
• 群范畴是幺半群范畴的余反射子范畴，其中右伴随将幺半群映至其单位群。

拓扑

• Колмого́ров 空间范畴（${\displaystyle \mathrm {T} _{0}}$ 空间）是拓扑空间范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$ 的反射子范畴，而 Колмого́ров 商为反射子。
• 完全正则空间范畴 ${\displaystyle {\mathsf {CReg}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$ 的反射子范畴。取 Колмого́ров 商知 Tychonoff 空间亦是反射子。
• 全部紧 Hausdorff 空间的范畴是全部 Tychonoff 空间的范畴（及所有拓扑空间范畴）的反射子范畴，反射子由 Stone–Čech 紧化给定。
• 所有具一致连续映射的完备度量空间的范畴是度量空间范畴的反射子范畴，反射子在对象上的作用是度量空间完备化，在箭头上的作用是由稠密性延拓。
• 在某一拓扑空间上，层范畴是预层范畴的反射子范畴，反射子为层化，它将一个预层赋予为其芽的丛的截面层。
• 序列空间​（英语）范畴 ${\displaystyle {\mathsf {Seq}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$ 的余反射子范畴，拓扑空间 ${\displaystyle (X,\,\tau )}$ 的序列余反射为空间 ${\displaystyle (X,\,\tau _{\textrm {seq}})}$, 其中，${\displaystyle \tau _{\mathrm {seq} }}$ 为在 ${\displaystyle X}$ 包含所有序列开集的拓扑（亦是所有序列闭集的余集），比 ${\displaystyle \tau }$ 更加精细。

泛函分析

• Banach 空间范畴是有界线性算子赋范空间范畴的反射子范畴，反射子为赋范完成函子。

范畴论

• 对任意 Grothendieck 位点 ${\displaystyle (C,\,J)}$, 其上的层 topos 为 ${\displaystyle C}$ 上的预层 topos 的反射子范畴，较为特别，其反射子函子左正合。反射子为层化函子 ${\displaystyle a\colon \,\operatorname {Presh} C\to \operatorname {Sh} (C,\,J)}$, 伴随对 ${\displaystyle (a,\,i)}$ 为 topos 论里，几何态射的重要一例。