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数列极限
序列的項“趨向於”何值 来自维基百科,自由的百科全书
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数列极限(英语:limit of a sequence)为某些数列才拥有的特殊值,当数列的下标越来越大的时候,数列的值也就越接近那个特殊值。
定义
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从上面的定义可以证明,对实数数列 来说,若
则其极限 一定为实数 ,
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基本性质
定理 — 若数列 的极限存在,则极限是唯一的。[1]:29
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根据实质条件的意义,上面的定理等价于“如果一个复数数列无界,则这个复数数列一定发散。”[1]:30
注意有界数列不一定有极限,如数列 是一个有界数列,但没有极限。
但是当数列有界,存在一个递增或是递减的子数列的话,在假设可数版本的选择公理成立的情况下,则可以证明此数列有极限。
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加减法定理 — 有复数数列 和 ,若
则
乘法定理 — 有复数数列 和 ,若
则
除法定理 —
有实数数列 满足
- (1)
- (2)
- (3) 存在正整数 使任意正整数 只要 则
则
以上的除法定理配上乘法定理,就可以对一般的状况取极限。
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审敛法
其中一个判断数列是否收敛的定理,称为单调收敛定理,和实数完备性相关:单调有界数列必收敛,即是说,有上界的单调递增数列,或是有下界的单调递减数列,必然收敛。
柯西数列
参考文献列表
参看
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