林尼克定理

林尼克定理（英语：Linnik's theorem）是解析数论中的一个定理，它回答了一个由狄利克雷定理自然推广的问题。它声称，存在着正数 c 和 L 使得：如果我们用p(a,d)表示最小的素数等差数列

${\displaystyle a+nd,\ }$

其中 n 跑遍正整数，a 和 d 为任何的互质正整数满足 1≤ a ≤ d -1，则：

${\displaystyle p(a,d)<cd^{L}.\;}$

本定理以尤里·林尼克（英语：Yuri Linnik）的名字命名，他证明它在1944年。^[1][2] 虽然林尼克的证据表明 c 和 L 是 可计算数，但是他没有提供任何数值。

性质

目前已经知道， L ≤2对于几乎所有整数d都成立.^[3]

在 广义黎曼假设成立的前提下，有，

${\displaystyle p(a,d)\leq (1+o(1))\varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,}$

这里 ${\displaystyle \varphi }$是欧拉函数.^[4] 更强的上界是

${\displaystyle p(a,d)\leq \varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,}$

也已证实。^[5]

目前猜测：

${\displaystyle p(a,d)<d^{2}.\;}$ ^[4]

L的边界

常数 L 称为林尼克常数 ^[6]

下表显示了有关该常数迄今为止取得的进展。

L ≤	证实的年份	作者
10000	1957年	潘[7]
5448	1958年	潘
777	1965年	陈[8]
630	1971年	朱提拉
550	1970年	朱提拉
168	1977年	陈[9]
80	1977年	朱提拉
36	1977年	格雷厄姆[10]
20	1981年	格雷厄姆[11] (之前提交的陈1979年的文件)
17	1979年	陈[12]
16	1986年	王
13.5	1989年	陈 刘[13][14]
8	1990年	王[15]
5.5	1992年	希斯-布朗
5.18	2009年	吉罗里斯
5	2011	吉罗里斯

此外，在希斯-布朗的结果，常数 c 是有效的可计算数。