梅滕斯定理

在解析数论中，梅滕斯定理指的是三个弗朗茨·梅滕斯在1874年证明的定理，这些定理与质数密度相关。^[1]

以下假定${\displaystyle p\leq n}$指的是所有不超过${\displaystyle n}$的质数。

梅滕斯第一定理

梅滕斯第一定理指的对于任何的${\displaystyle n\geq 2}$而言，以下式的绝对值不会超过${\displaystyle 2}$（A083343）：

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}-\log n}$

梅滕斯第二定理

梅滕斯第二定理如下：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M\right)=0,}$

其中${\displaystyle M}$是Meissel–Mertens常数（A077761）；更精确地说，梅滕斯^[1]证明了对于任意的${\displaystyle n\geq 2}$，以上的公式在极限意义下，其绝对值不会超过下式：

${\displaystyle {\frac {4}{\log(n+1)}}+{\frac {2}{n\log n}}}$

证明

证明梅滕斯第二定理的主要步骤如下：

${\displaystyle O(n)+n\log n=\log n!=\sum _{p^{k}\leq n}\lfloor n/p^{k}\rfloor \log p=\sum _{p^{k}\leq n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p=n\sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)}$

其中最后的等式要求${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}\log p=O(n)}$，而这可由${\displaystyle \sum _{p\in (n,2n]}\log p\leq \log {2n \choose n}=O(n)}$得出。

因此我们证明了下式：

${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}=\log n+O(1)}$

由于在${\displaystyle k\geq 2}$时，质数的次方的倒数和收敛之故，这表示说

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1)}$

故由分部求和法可推得下式：

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+M+O(1/\log n)}$

变号

在一篇于1983年出版的关于除数函数增长率的文章中，^[2]Guy Robin证明了以下在梅滕斯第二定理中出现的差会变号无限多次：

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M}$

此外，以下在梅滕斯第三定理中出现的差也会变号无限多次：

${\displaystyle \log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }}$

Robin的结果类似于李特尔伍德证明的“${\displaystyle \pi (x)-{\rm {Li}}(x)}$这个差会变号无限多次”的这定理。唯对于梅滕斯第二及第三定理而言，目前尚没有类似于斯奎斯数这样，最小的导致变号的自然数的上界。

与质数定理间的关系

梅滕斯在他的《两个令人好奇的勒让德公式》（two curious formula of Legendre）这篇论文中论及了这个非病态的公式^[1]，在这篇文章中出现的第一个公式是梅滕斯第二定理的原型；而同篇文章中出现的第二个公式是梅滕斯第三定理的原型，详情可见该篇文的前面数行。他回忆说这公式出现在勒让德的《数论》（Théorie des nombres）的第三版（出版于1830年，而实际上该公式出现于1808年出版的第二版中），且更加详细的版本为切比雪夫在1851年所证明。^[3]应当注意的是，欧拉在1737年就已知该公式的非病态行为。

梅滕斯礼貌性地描述说他的证明是更加精准且确实的。实际上在他之前的任何证明，在现代标准下都是不可接受的：欧拉的计算牵涉到无限（以及无限的双曲对数和无限的对数的对数）；勒让德的论证是启发性的；而切比雪夫证明，尽管逻辑上完美，但用到了直到1896年之前都尚未得证、并在后来被称为质数定理的勒让德─高斯猜想。

梅滕斯的证明并未用到在1874时尚未得证的任何猜想，且只用到基本的实分析，而这证明出现在质数定理得证的22年之前；而与之相对地，质数定理仰赖对做为复数域上的函数的黎曼ζ函数的行为的详细分析。

由此来看，梅滕斯的证明在这方面是印象深刻的，事实上，以当今惯用的大O符号表记，其论述如下：

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)}$

而若使用最简单、不带误差项估计的质数定理，可证明下式成立：^[4]

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).}$

在1909年，爱德蒙·兰道（Edmund Landau）用他当时可得的最好的质数定理的版本，证明了下式成立：^[5]

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})}$

特别地，对任何固定数${\displaystyle k}$而言，这误差项小于${\displaystyle 1/(\log x)^{k}}$

对已知的最强版本使用简单的分部求和技巧，可将之改进为：

对于一些${\displaystyle c>0}$而言，有${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})}$

类似地，使用分部求和法可证明说质数定理蕴含了${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+C+o(1)}$。

梅滕斯第三定理

梅滕斯第三定理如下：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }\approx 0.561459483566885,}$

其中${\displaystyle \gamma }$是欧拉-马斯刻若尼常数。（A001620）

与筛法的关系

对于“${\displaystyle X}$（${\displaystyle X\gg n}$）没有小于${\displaystyle n}$的因子的机率”的估计，可由下式给出：

${\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

这与梅滕斯第三定理密切相关，因为梅滕斯第三定理给出了下式的非病态估计：

${\displaystyle P(p\nmid X\ \forall p\leq n)={\frac {1}{e^{\gamma }\log n}}}$