沃默斯利数

沃默斯利数（Womersley number），会用α或${\displaystyle {\text{Wo}}}$的符号表示，是生物流体力学及生物流体动力学（英语：biofluid dynamics）的无量纲量。是表示脉动流（英语：pulsatile flow）频率以及黏滞效应之间的关系。沃默斯利数得名自约翰·罗纳德·沃默斯利（英语：John R. Womersley）（1907–1958），为纪念他在动脉血液流动上的研究，因此命名^[1]。在实验建模时（实验研究中要比例放大血管系统时），会根据沃默斯利数来维持动态相似性（英语：dynamic similarity）。在确认边界层厚度，判断进入效应是否可忽略时，也会用到沃默斯利数。

有些文献将沃默斯利数的平方称为斯托克斯数（Stokes number，${\displaystyle {\text{St}}}$）^[2]，纪念乔治·斯托克斯在斯托克第二问题（英语：Stokes second problem）上的先驱贡献。

推导

沃默斯利数（常用${\displaystyle \alpha }$来表示）定义如下

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\text{transient inertial force}}{\text{viscous force}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,}$

其中L是适当的长度尺度（英语：length scale）（例如管路的直径）、ω是振动的角频率、ν, ρ, μ分别是流体的黏度、密度及动黏度^[3]。沃默斯利数一般会写成以下没有幂次的式子

${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$

在心血管系统中，脉动频率会随血管距脉动源（心脏）的距离而减少。不过脉动频率的变化在一个数量级（OoM）以内。在心血管系统中，沃默斯利数受脉动频率的影响不大。

特征长度（在血管系统中是血管直径）是系统的重要特征，也是决定沃默斯利数的重要因素。血管系统中，特征长度的变化会到达三个数量级，因此对沃默斯利数的影响会比脉动频率要大。利用频率、秥黏度及密度的标准值，可以估计人类血管的沃默斯利数：

${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$

以下是人类不同血管内的沃默斯利数：

血管	直径（公尺）	${\displaystyle \alpha }$
大动脉	0.025	13.83
动脉	0.004	2.21
小动脉	3⋅10^-5	0.0166
微血管	8⋅10^-6	4.43⋅10^-3
小静脉	2⋅10-5	0.011
静脉	0.005	2.77
大静脉	0.03	16.6

沃默斯利数也可以用无因次的雷诺数（Re）及斯特劳哈尔数（St）表示：

${\displaystyle \alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,.}$

沃默斯利数出现在脉动流的线性化纳维-斯托克斯方程（假定是不可压缩的层流）方程的解里。沃默斯利数表示瞬间或是振荡惯性力和剪力之间的比例。若${\displaystyle \alpha }$较小（1或是更小的值），表示脉动频率很低，在每一个周期中，都有足够时间让管路中的速度分布发展成抛物线分布，流和压力梯度几乎是同相位，因此可以配合瞬间压力梯度，用泊肃叶定律来近似。若${\displaystyle \alpha }$较大（10或是更大），表示脉动频率很大，速度分布会比较平，类似管塞的外形，而平均流会落后压力梯度约90度。沃默斯利数和雷诺数决定了动态相似性^[4]。

边界层厚度${\displaystyle \delta }$和瞬间加速度有关。和沃默斯利数成反比^[5]

${\displaystyle \delta =\left(L/\alpha \right),}$

其中L为特征长度。

生物流体力学

考虑一个许多管路组成的网路系统，其中从大管径的管路，渐渐变成小管径的管路（例如血管系统），在管路系统中的频率、密度及黏度多半都是定值，而管路的管径会随位置而不同。在大血管内的沃默斯利数数值较大，随著血管分支，渐渐变细，沃默斯利数会变小，而且会变的非常小。在终末动脉（terminal arteries）处的沃默斯利数接近1，在小动脉、微血管及小静脉的沃默斯利数小于1。这区域比较不受惯性力的影响,流动是由黏性应力以及压力梯度所控制。这称为微循环^[5]。

以下是犬科动物在心率2 Hz时，各部位的沃默斯利数^[5]：

• 升主动脉 — 13.2
• 降主动脉 — 11.5
• 腹主动脉 — 8
• 股动脉 — 3.5
• 颈动脉 — 4.4
• 小动脉 —0.04
• 微血管 — 0.005
• 小静脉 — 0.035
• 下腔静脉 — 8.8
• 主肺动脉 — 15

有研究者提出普遍性的生物比例律（描述代谢率、寿命、长度和体重的幂次律关系）是为了让需要的能量最小化的结果，包括血管的分形结构，以及血液从大血管到小血管的沃默斯利数变小都是这类的例子^[6]。