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素数定理

數論中的定理 来自维基百科,自由的百科全书

質數定理
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在数论中,素数定理(英语:Prime number theorem)描述素数在自然数中分布的渐进情况,给出随著数字的增大,质数的密度逐渐降低的直觉的形式化描述。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑先后独立给出证明。证明用到了复分析,尤其是黎曼ζ函数

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素数数量(红色)、(绿色)和(蓝色)的比较

素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看,素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看,素数的个数竟然有规可循。对正实数x,定义π(x)为素数计数函数,亦即不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。

其中 ln xx自然对数。上式的意思是当 x 趋近无限,π(x)与x/ln x的比值趋近 1。但这不表示它们的数值随著 x 增大而接近。

下面是对π(x)更好的估计:

,当x 趋近∞。

其中对数积分),而关系式右边第二项是误差估计,详见大O符号

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叙述

定义 π(x) 为素数计数函数,也就是小于等于x 的质数个数。例如 π(10)=4,因为共有 4 个质数小于等于 10,分别是 2、3、5、7。质数定理的叙述为:当 x 趋近无限,π(x) 和 的比值趋近 1。其数学式写做

浅白的说,当 x 很大的时候,π(x) 差不多等于 。该定理被认为是质数的渐进分布定律,以渐进符号可简化为

注意到,上式并不是说指随著 x 趋近无限,的差趋近于 0。而是随著 x 趋近无限,相对误差趋近于 0。

因此,质数定理也可以被想像成描述从正整数中抽到素数的概率:从不大于 n 的正整数中随机选出一个数,它是素数的概率大约是

质数定理有一个相关的定理,是关于第个素数 的下界,也就所谓的Rosser定理

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关于 .mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}π(x)、x / ln x 和 li(x) 的数值

下表比较了π(x),x/ln x和Li(x):

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历史

1797年至1798年间,法国数学家勒让德根据上述的质数表猜测,大约等于 ,其中是未知的函数。勒让德于1808年出版一本关于数论的书的第二版,书中他给出更精确的猜测:。根据高斯自己在1849年的回忆,他在15岁或16岁(1792或1793年)的时候就已经考虑过类似的问题了[4]。1832年,狄利克雷经过跟高斯的交流之后,给出了一个新的逼近函数 ,(事实上他是用一个有点不一样的级数表达式)。勒让德和狄利克雷的式子皆等价于现在的版本,但如果考虑逼近式与 的差,而不是比值的话,狄利克雷的式子是准确许多的。

俄国数学家切比雪夫参考了欧拉在1731年的工作,引进了定义在实数轴上黎曼ζ函数,企图证明质数分布的渐进式,并将他所得到的结果写成两篇论文,分别在1848和1850年发表。切比雪夫可以证明,如果存在且有限,则它一定是1[5]。此外,在没有假设任何结果之下,他也证明当 x 足够大,会界在两个很靠近 1 的数字之间[6]。虽然切比雪夫的论文没办法证明质数定理,但它对 已经可以推论出伯特兰-切比雪夫定理:对任何大于的正整数,存在一个质数介于之间。

1859年,黎曼提交了一篇关于质数分布的非常重要的报告《论小于给定数值的质数个数英语On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude》,这也是黎曼在这个领域的唯一一篇文章。黎曼在报告中使用了创新的想法,将函数的定义解析延拓到整个复数平面,并且将质数的分布与函数的零点紧密的联系起来。因此,这篇报告是历史上首次用复分析的方法研究实函数 。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先后独立给出证明。两个证明延著黎曼的思路继续拓展,且都使用复分析的工具,其中的关键步骤是证明如果复数可以写成 的形式,且 ,则 [7]

进入20世纪之后,阿达马和普桑证明的定理经常被称作质数定理,定理的其他不同证明也陆陆续续被发现,这之中包括1949年阿特勒·塞尔伯格艾狄胥·帕尔发现的“初等证明”。原本的证明是既冗长,又复杂,于是有很多后面发现的证明使用了陶伯定理英语Tauberian theorem让证明变得比较简短,但却变得让人比较难以消化。1980年,美国数学家唐纳德·J·纽曼英语Donald J. Newman发现了一个简洁的证明[8][9],这可能是目前已知最简单的证明。不过,证明中使用了柯西积分公式,因此一般不被视为是为初等的证明。

因为黎曼ζ函数与关系密切,关于黎曼函数的黎曼猜想数论很重要。一旦猜想获证,便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家海里格·冯·科赫证明出,假设黎曼猜想成立,以上关系式误差项的估计可改进为

至于大O项的常数则还未知道。[来源请求]

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初等证明

素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。

在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明,显出定理结果的“深度”。他认为只用到实数不足以解决某些问题,必须引进复数来解决。

相关条目

参考资料

外部链接

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