罗德里格公式

罗德里格公式（英语：Rodrigues' formula），旧称为艾沃里–雅可比公式，是一个关于勒壤得多项式的公式，分别被 欧林 罗德里格 （1816），詹姆斯 艾沃里 （1824）及卡尔 雅可比 （1827）所独立发现。在埃尔米特于1865年指出罗德里格是第一个发现的人后，Heine在1878年建议使用“罗德里格公式”此名称。此名称亦被用于其它正交多项式的相似公式中。Askey (2005)详述了罗德里格公式的历史。

关于几何学中关于向量的旋转的演算法（Rodrigues' rotation formula），请见“罗德里格旋转公式”。

叙述

令${\displaystyle \{P_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}$为一正交多项式序列，并满足以下条件： $${\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},}$$ 其中${\displaystyle w(x)}$ 为权函数，${\displaystyle K_{n}}$为与${\displaystyle n}$有关之常数，${\displaystyle \delta _{m,n}}$则是克罗内克δ函数。如果权函数${\displaystyle w(x)}$满足以下微分方程（又称Pearson微分方程）： $${\displaystyle {\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},}$$ 其中${\displaystyle A(x)}$ 为次数最高为一的多项式，${\displaystyle B(x)}$为次数最高为二的多项式；且以下极限成立： $${\displaystyle \lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0,}$$ 那么我们可以证明${\displaystyle P_{n}(x)}$满足以下递回关系式 $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[B(x)^{n}w(x)\right],}$$ 其中${\displaystyle c_{n}}$为常数。此关系式称为“罗形公式”或是简称为“罗德里格公式”^[1]

罗形公式最常见的应用为勒壤得多项式、拉盖尔多项式和埃尔米特多项式。

对勒壤得多项式${\displaystyle P_{n}}$，罗德里格描述他的公式如下： $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}$$

拉盖尔多项式通常被记为L₀, L₁, ⋯⋯，其罗形公式可被写为： $${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$$

埃尔米特多项式的罗德里格公式则为： $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

其他从史特姆-莱欧维尔方程所得之正交函数序列也有类似的公式，这些公式也被称为罗德里格公式（或是罗形公式），特别是所得函数为多项式时。