正交多项式

函数${\displaystyle W(x)}$若在区间(a,b)可积，且${\displaystyle W(x)\geq 0}$，则可作为权函数。

对于一个多项式的序列${\displaystyle {f_{i}}}$和权函数${\displaystyle W(x)}$，定义内积 ${\displaystyle :\langle f_{m},f_{n}\rangle =\int _{a}^{b}f_{m}(x)f_{n}(x)\,W(x)\,dx}$

若${\displaystyle n\neq m}$，${\displaystyle \langle f_{m},f_{n}\rangle =0}$，这些多项式则称为正交多项式（英语：Orthogonal Polynomials）。

若${\displaystyle {f_{i}}}$除了正交之外，更有${\displaystyle \langle f_{n},f_{n}\rangle =1}$的话，则称为规范正交多项式。

例子

若权函数为1，区间为(-1,1)，${\displaystyle f_{0}(x)=1}$，对应的正交多项式有：

${\displaystyle f_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle f_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}}\,}$

${\displaystyle f_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}}\,}$

${\displaystyle f_{4}(x)={\frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}}\,}$

${\displaystyle \vdots }$

它们称为勒让德多项式。

对于任意向量空间的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一个正交基。对于多项式空间的基，正交化的结果便是勒让德多项式。

常见的正交多项式

• 切比雪夫多项式
• 雅可比多项式
• 埃尔米特多项式
• 拉盖尔多项式
• 盖根鲍尔多项式
• 哈恩多项式
• 拉卡多项式
• 查理耶多项式
• 连续双哈恩多项式
• 贝特曼多项式
• 双重哈恩多项式
• 小q-雅可比多项式
• 本德尔·邓恩多项式
• 威尔逊多项式
• Q哈恩多项式
• 大q-雅可比多项式
• Q-拉盖尔多项式
• Q拉卡多项式
• 梅西纳多项式
• 克拉夫楚克多项式
• 梅西纳-珀拉泽克多项式
• 连续哈恩多项式
• 连续q-哈恩多项式
• Q梅西纳多项式
• 阿斯克以-威尔逊多项式
• Q克拉夫楚克多项式
• 大q-拉盖尔多项式
• 双Q克拉夫楚克多项式
• Q查理耶多项式
• 泽尔尼克多项式
• 罗杰斯-斯泽格多项式
• 戈特利布多项式

性质

• 递归方程

${\displaystyle f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}}$

其中 ${\displaystyle b_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\qquad a_{n}=b_{n}({\frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{\frac {k_{n}'}{k_{n}}}),\qquad c_{n}=b_{n}({\frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}),\qquad h_{n}=\langle f_{n},f_{n}\rangle }$

• 实根：所有正交多项式系中的正交多项式都有${\displaystyle n}$个实根，这些根是相异且在正交区间之内。
• 奇偶性：若${\displaystyle W(x)}$为偶函数，且正交区间为${\displaystyle (-a,a)}$，则有${\displaystyle f_{n}(-x)=(-1)^{n}f_{n}(x)}$。

外部链接

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. chapter 22 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
• Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials
• Orthogonal polynomials （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Springer Online Reference Works)