自旋-轨道作用

在量子力学里，一个粒子因为自旋与轨道运动而产生的作用，称为自旋-轨道作用（英语：Spin–orbit interaction），也称作自旋-轨道效应或自旋-轨道耦合。最著名的例子是电子能级的位移。电子移动经过原子核的电场时，会产生电磁作用．电子的自旋与这电磁作用的耦合，形成了自旋-轨道作用。谱线分裂实验明显地侦测到电子能级的位移，证实了自旋-轨道作用理论的正确性。另外一个类似的例子是原子核壳层模型能级的位移。

半导体或其它新颖材料常常会涉及电子的自旋-轨道效应。自旋电子学专门研究与应用这方面的问题。

电子的自旋-轨道作用

在这篇文章里，会以相当简单与公式化的方式，详细地讲解一个束缚于原子内的电子的自旋-轨道作用理论。这会用到电磁学、非相对论性量子力学、一阶微扰理论。这自旋-轨道作用理论给出的答案，虽然与实验结果并不完全相同，但相当的符合。更严谨的导引应该从狄拉克方程式开始，也会求得相同的答案。若想得到更准确的答案，则必须用量子电动力学来计算微小的修正。这两种方法都在本条目范围之外。

磁场

虽然在原子核的静止参考系 (rest frame) ，并没有作用在电子上的磁场；在电子的静止参考系，有作用在电子上的磁场存在。暂时假设电子的静止参考系为惯性参考系，则根据狭义相对论^[1]，磁场 ${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$ 是

${\displaystyle \mathbf {B} =-\,{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\,\!}$ ；(1)

其中，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 是电子的速度，${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$ 是电子运动经过的电场，${\displaystyle c\,\!}$ 是光速。

以质子的位置为原点，则从质子产生的电场是

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\mathbf {r} \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle Z\,\!}$ 是质子数量（原子序数），${\displaystyle e\,\!}$ 是单位电荷量，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$ 是真空电容率，${\displaystyle {\hat {r}}\,\!}$ 是径向单位向量，${\displaystyle r\,\!}$ 是径向距离，径向向量 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 是电子的位置。

电子的动量 ${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$ 是

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle m\,\!}$ 是电子的质量。

所以，作用于电子的磁场是

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {r} \times \mathbf {p} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {L} \,\!}$ ；(2)

其中，${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$ 是角动量，${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}$ 。

${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$ 是一个正值因子乘以 ${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$ ，也就是说，磁场与电子的轨道角动量平行。

磁矩

电子自旋的磁矩 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$ 是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\gamma \,\mathbf {S} \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \gamma ={\frac {g_{s}q_{e}}{2m}}\,\!}$ 是旋磁比 (gyromagnetic ratio) ，${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$ 是自旋角动量，${\displaystyle g_{s}\,\!}$ 是朗德g因子，${\displaystyle q_{e}\,\!}$ 是电荷量。

电子的朗德g因子（g-factor）是 ${\displaystyle 2\,\!}$ ，电荷量是 ${\displaystyle -e\,\!}$ 。所以，

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e}{m}}\mathbf {S} \,\!}$ 。(3)

电子的磁矩与自旋反平行。

哈密顿量微扰项目

自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目是

${\displaystyle H'=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$ 。

代入 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$ 的公式 (3) 和 ${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$ 的公式(2)，经过一番运算，可以得到

${\displaystyle H'={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!}$

一直到现在，都还没有考虑到电子静止坐标乃非惯性坐标。这事实引发的效应称为托马斯进动 (Thomas precession) 。因为这效应，必须添加因子 ${\displaystyle 1/2\,\!}$ 在公式里。所以，

${\displaystyle H'={\frac {Ze^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!}$ 。

能级位移

在准备好了自旋-轨道作用的哈密顿量微扰项目以后，现在可以估算这项目会造成的能量位移。特别地，想要找到 ${\displaystyle H_{0}\,\!}$ 的本征函数形成的基底，使 ${\displaystyle H'\,\!}$ 能够对角化。为了找到这基底，先定义总角动量算符 ${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$ ：

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} \,\!}$ 。

总角动量算符与自己的内积是

${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!}$ 。

所以，

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={1 \over 2}(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2})\,\!}$ 。

请注意 ${\displaystyle H'\,\!}$ 与 ${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$ 互相不对易， ${\displaystyle H'\,\!}$ 与 ${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$ 互相不对易。读者可以很容易地证明这两个事实。由于这两个事实，${\displaystyle H_{0}\,\!}$ 与 ${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$ 的共同本征函数不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 ${\displaystyle E^{(1)}\,\!}$ 。${\displaystyle H_{0}\,\!}$ 与 ${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$ 的共同本征函数也不能被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 ${\displaystyle E^{(1)}\,\!}$ 。可是， ${\displaystyle H'\,\!}$ 、${\displaystyle J^{2}\,\!}$ 、${\displaystyle L^{2}\,\!}$ 、${\displaystyle S^{2}\,\!}$ ，这四个算符都互相对易。${\displaystyle H_{0}\,\!}$ 、${\displaystyle J^{2}\,\!}$ 、${\displaystyle L^{2}\,\!}$ 、${\displaystyle S^{2}\,\!}$ ，这四个算符也都互相对易。所以，${\displaystyle H_{0}\,\!}$ 、${\displaystyle J^{2}\,\!}$ 、${\displaystyle L^{2}\,\!}$ 、${\displaystyle S^{2}\,\!}$ ，这四个算符的共同本征函数 ${\displaystyle |n,j,l,s\rangle \,\!}$ 可以被当做零微扰波函数，用来计算一阶能量位移 ${\displaystyle E_{n}^{(1)}\,\!}$ ；其中， ${\displaystyle n\,\!}$ 是主量子数，${\displaystyle j\,\!}$ 是总角量子数，${\displaystyle l\,\!}$ 是角量子数，${\displaystyle s\,\!}$ 是自旋量子数。这一组本征函数所形成的基底，就是想要寻找的基底。这共同本征函数 ${\displaystyle |n,j,l,s\rangle \,\!}$ 的 ${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!}$ 的期望值是

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n,j,l,s\,|\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,|\,n,j,l,s\rangle &={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\\end{aligned}}\,\!}$；

其中，电子的自旋 ${\displaystyle s=1/2\,\!}$ 。

经过一番繁琐的运算^[2]，可以得到 ${\displaystyle r^{-3}\,\!}$ 的期望值

${\displaystyle \langle n,j,l,s\,|\,r^{-3}\,|\,n,j,l,s\rangle ={\frac {2Z^{3}}{a_{0}^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}\,\!}$ 是波耳半径。

将这两个期望值的公式代入，能级位移是

${\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {Z^{4}e^{2}\hbar ^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}}\ {\frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}\,l(l+1)(2l+1)}}\,\!}$ 。

经过一番运算，可以得到

${\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}}\ {\frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle E_{n}^{(0)}={\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2ma_{0}^{2}n^{2}}}\,\!}$ 是主量子数为 ${\displaystyle n\,\!}$ 的零微扰能级。

特别注意，当 ${\displaystyle l=0\,\!}$ 时，这方程式会遇到除以零的不可定义运算；虽然分子项目 ${\displaystyle j(j+1)-l(l+1)-3/4=0\,\!}$ 也等于零。零除以零，仍旧无法计算这方程式的值。很幸运地，在精细结构能量微扰的计算里，这不可定义问题自动地会消失。事实上，当 ${\displaystyle l=0\,\!}$ 时，电子的轨道运动是球对称的。这可以从电子的波函数的角部分观察出来，${\displaystyle l=0\,\!}$ 球谐函数是

${\displaystyle Y_{0}^{0}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,\!}$ ，

由于完全跟角度无关，角动量也是零，电子并不会感觉到任何磁场，所以，电子的 ${\displaystyle l=0\,\!}$ 轨道没有自旋-轨道作用。

参阅

• 斯塔克效应
• 塞曼效应
• 超精细结构
• 兰姆位移