虚数单位

在数学、物理及工程学里，虚数单位是指二次方程${\displaystyle x^{2}+1=0}$的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统${\displaystyle \mathbb {R} }$延伸至复数系统${\displaystyle \mathbb {C} }$。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位通常标记为${\displaystyle i}$，但在涉及电气、电机工程等电学相关领域时，则往往标记为${\displaystyle j}$，这是为了避免与电流（记为${\displaystyle i(t)}$或${\displaystyle i}$）相混淆。

虚数单位${\displaystyle i}$在复平面的位置。横轴是实数，竖轴是虚数

高斯整数导航
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各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

质数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同馀 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

定义

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle {{i}^{-{3}}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{-{2}}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{-{1}}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{0}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{1}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{3}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{4}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{5}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{6}}=-1}$

${\displaystyle \ldots }$

虚数单位${\displaystyle i}$定义为二次方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为：

${\displaystyle {{x}^{2}}=-1}$。

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号${\displaystyle i}$。很重要的一点是，${\displaystyle i}$是一个良定义的数学构造。

另外，虚数单位同样可以表示为：

${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$

然而${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：

因为${\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}$，但是-1不等于1。

但请注意：${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$成立的条件有${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设${\displaystyle i}$是一个未知数，然后依照${\displaystyle i}$的定义，替代任何${\displaystyle i^{2}}$的出现为-1。${\displaystyle i}$的更高整数幂数也可以替代为${\displaystyle -i}$，${\displaystyle 1}$，或${\displaystyle i}$，根据下述方程式：

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}$，

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}$，

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}$。

一般地，有以下的公式：

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$

其中${\displaystyle {\bmod {4}}}$表示被4除的余数。

补充定义

虚数单位 ${\displaystyle i}$ 是复数域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中的一个基本元素，其核心性质由以下等价方式之一定义：

代数定义

作为二次方程 ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ 的一个解。即，${\displaystyle i}$ 是满足方程

${\displaystyle i^{2}=-1}$

的数。由于该方程在实数域 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内无解，引入 ${\displaystyle i}$ 是构造更广的数系——复数域的关键步骤。

作为有序对

在复数严格的公理化构造中，复数定义为有序对 ${\displaystyle (a,b)}$，其中 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$。在此框架下，虚数单位 ${\displaystyle i}$ 被定义为有序对

${\displaystyle i:=(0,1)}$。

而复数的乘法规则定义为 ${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$。由此可验证：

${\displaystyle i^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)=-1}$。

这一定义完全绕开了“负数的平方根”这一初始概念，从而在逻辑上更为基础。

i和-i

方程${\displaystyle x^{2}=-1}$有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解${\displaystyle i}$，那么${\displaystyle -i}$（不等于${\displaystyle i}$）也是一个解，由于这个方程是${\displaystyle i}$的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为${\displaystyle i}$，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然${\displaystyle -i}$和${\displaystyle i}$在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是${\displaystyle i}$和${\displaystyle -i}$之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。

${\displaystyle -i^{2}=1}$

${\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}$

正当的使用

虚数单位有时记为${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$仅对于非负的实数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$才成立。

假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$（不正确）

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}$（不正确）

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}$（不正确）

与主平方根的关系

在复数域中，“平方根”是一个多值函数。对于非负实数 ${\displaystyle a}$，符号 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ 通常指其唯一的非负实平方根（称为**算术平方根**或**主平方根**）。然而，对于负数或一般的复数，符号 ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ 必须明确其分支的选择。通常，复数的**主平方根**函数定义为其辐角落在区间 ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ 内的那个根。 在这种约定下，${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 的主值是 ${\displaystyle i}$（而非 ${\displaystyle -i}$）。即便如此，涉及多个复数的主平方根的恒等式也普遍不成立。因此，在处理复数时，最安全且清晰的做法是直接使用符号 ${\displaystyle i}$ 及其基本性质 ${\displaystyle i^{2}=-1}$ 进行计算，避免对负数直接应用根号运算法则。

i的运算

虚数单位${\displaystyle i}$的平方根在复平面的位置

利用复数的运算规则和欧拉公式，可以对虚数单位 ${\displaystyle i}$ 进行各种数学运算，包括平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除特殊说明外，均为与 ${\displaystyle i}$ 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

基本运算与幂循环

虚数单位 ${\displaystyle i}$ 的整数幂遵循一个周期为4的循环：

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{1}&=i,\\i^{2}&=-1,\\i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,\end{aligned}}}$

一般地，对任意整数 ${\displaystyle n}$，有：

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$

其中 ${\displaystyle {\bmod {4}}}$ 表示被4除的余数。

平方根

${\displaystyle i}$ 的平方根为：

${\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

使用算术平方根符号表示其主值：

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

其解法为先假设两实数 ${\displaystyle x}$ 及 ${\displaystyle y}$，使得 ${\displaystyle (x+iy)^{2}=i}$，然后求解 ${\displaystyle x,y}$。^[1]

一般幂运算

利用欧拉公式 ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$，可以将虚数单位表示为指数形式：

${\displaystyle i=e^{i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)}}$，其中 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 为任意整数。

由此可推导出更一般的幂运算公式。设 ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$，且 ${\displaystyle a>0}$，则有：

• 以 ${\displaystyle i}$ 为指数的幂（实数的虚数次幂）：

${\displaystyle a^{i}=e^{i\ln a}=\cos(\ln a)+i\sin(\ln a)}$

这是一个模为1的复数，其几何意义是在复平面上将点1旋转 ${\displaystyle \ln a}$ 弧度。

• 以虚数为指数的幂（实数底数的纯虚数次幂）：

${\displaystyle a^{bi}=e^{bi\ln a}=\cos(b\ln a)+i\sin(b\ln a)}$

• 复数的复数次幂（最一般的情况）：

${\displaystyle a^{b+ci}=a^{b}\cdot a^{ci}=a^{b}\left[\cos(c\ln a)+i\sin(c\ln a)\right]}$

此公式清晰地分离了结果在复平面上的**伸缩因子** ${\displaystyle a^{b}}$ 和**旋转因子** ${\displaystyle a^{ci}}$。

• 最为人熟知的特例：${\displaystyle i}$ 的 ${\displaystyle i}$ 次幂

${\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}$，${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

代入不同的 ${\displaystyle k}$ 值，可计算出无限多的解。当 ${\displaystyle k=0}$ 时，得到其主值 ${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }$ 0.207879576...^[2]

对数

• 以 ${\displaystyle i}$ 为底的对数：

对于正实数 ${\displaystyle x>0}$，有：

${\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }=-i\cdot {\frac {2\ln x}{\pi }}}$（取主值）

• 更一般地，对于正实数 ${\displaystyle a>0}$ 且 ${\displaystyle a\neq 1}$，以 ${\displaystyle i}$ 为底的对数可由换底公式导出：

${\displaystyle \log _{i}a={\frac {\ln a}{\ln i}}={\frac {\ln a}{i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)}}=-i\cdot {\frac {2\ln a}{(4k+1)\pi }}}$， ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$。

这是一个纯虚数，且由于 ${\displaystyle \ln i}$ 的多值性，其结果也有无穷多个值。

三角与双曲函数

以下恒等式揭示了虚数单位如何联系三角函数与双曲函数，这是欧拉公式的直接推论。对于实数 ${\displaystyle x}$：

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(ix)&=\cosh x\\\sin(ix)&=i\sinh x\\\tan(ix)&=i\tanh x\end{aligned}}}$

这些公式表明，对虚自变量的三角函数求值，会转化为实自变量的双曲函数。

作为直接应用，可以计算：

${\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx 1.54308064...}$

${\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx (1.17520119...)i}$

在程式语言

• 大部分的程式语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。
• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。
• 在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for回圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。
• Go语言于第 1.0 版就内建虚数和复数的支持，变数类型为 complex64和complex128^[3]。

代码示例

以下是一些编程语言中定义虚数单位 ${\displaystyle i}$ 及进行基本复数运算的方法：

编程语言	示例代码 (定义虚数单位与基础运算)	备注与输出示例
Python	# 虚数单位用后缀 j 表示 i = 1j print(f"虚数单位 i = {i}") print(f"i 的平方 i² = {i ** 2}") # 输出：虚数单位 i = 1j # 输出：i 的平方 i² = (-1+0j) # 复数构造与运算 z1 = 3 + 4j # 复数字面量 z2 = complex(1, -2) # complex(实部, 虚部) 函数 print(f"复数 z1 = {z1}") print(f"复数 z2 = {z2}") print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}") # 加法：(4+2j) print(f"z1 * z2 = {z1 * z2}") # 乘法：(11-2j) # 使用 cmath 模块进行更多运算 import cmath print(f"e^(i*π) = {cmath.exp(1j * cmath.pi)}") # 欧拉公式，近似 (-1+1.2246467991473532e-16j)	* Python 原生支持复数类型，属于 complex 类。 虚部使用后缀 j 或 J 表示。 可用 real 和 imag 属性获取实部与虚部。 cmath 模块提供复变函数。
C语言 (C99标准)	#include <complex.h> #include <stdio.h> int main(void) { // 宏 I 表示虚数单位 i double complex i = I; double complex z1 = 3.0 + 4.0 * I; double complex z2 = 1.0 - 2.0 * I; // 基本运算 double complex i_squared = i * i; double complex sum = z1 + z2; double complex product = z1 * z2; // 输出结果，creal()和cimag()分别提取实部和虚部 printf("i² = %.2f %+.2fi\n", creal(i_squared), cimag(i_squared)); // 输出：i² = -1.00 +0.00i printf("z1 + z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(sum), cimag(sum)); // 输出：z1 + z2 = 4.00 +2.00i printf("z1 * z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(product), cimag(product)); // 输出：z1 * z2 = 11.00 -2.00i return 0; }	* 需包含 <complex.h> 头文件，并使用标准宏 I 表示虚数单位。 复数类型为 double complex、float complex 等。 运算符号（+, *, -）与普通算术一致。 使用 creal() 和 cimag() 函数提取复数的实部与虚部。 编译时需支持C99标准（如使用 gcc -std=c99）。