變形 (物理學)

在物理学和连续介质力学中，变形（Deformation）是指物体形状或尺寸的改变，其因次为长度，国际单位制单位为米（m）。它被量化为非刚体中粒子从初始构形到最终构形的残馀位移，其中不包括物体的平均平移和旋转（即其刚性变换）。^[1] 一个构形是指包含物体所有粒子位置的集合。

变形的发生可由外力^[2]、内在活动（如肌肉收缩）、体积力（如重力或电磁力），或因温度、湿度含量、化学反应等变化引起。

在连续体中，变形场由应力场产生。应力与应变（相对变形）之间的关系由本构方程式描述，例如线性弹性材料的虎克定律。

当应力场移除后会消失的变形称为弹性变形。在这种情况下，连续体完全恢复其原始构形。另一方面，不可逆的变形则会残留，即使在应力被移除后依然存在。其中一种不可逆变形是塑性变形，它发生在材料应力达到称为弹性极限或降伏应力的特定阈值后，是原子层级上滑移或差排机制的结果。另一种不可逆变形是黏性变形，是黏弹性变形的不可逆部分。

定义与表述

变形是连续体度量性质的改变，意指初始构形中的曲线在移动到最终构形后，其长度发生了变化。若所有曲线长度均未改变，则称之为刚体位移。

分析时，通常会定义一个参考构形（或称未变形构形），所有后续构形都以此为参考。此外，也定义一个当前构形（或称已变形构形）。分析变形时不考虑时间，因此在未变形与已变形构形之间的构形序列并非重点。

描述连续体变形有两种方法：一种是以材料（参考）坐标进行描述，称为材料描述或拉格朗日描述法；另一种则是以空间坐标进行描述，称为空间描述或欧拉描述法。

仿射变形

仿射变形是一种可由仿射变换完全描述的变形。此类变换由一个线性变换（如旋转、剪切、拉伸和压缩）和一个刚体平移组成。仿射变形也称为均匀变形。^[3]

因此，仿射变形具有以下形式： $\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)$ 其中 $x$ 是已变形构形中的点位置， $X$ 是参考构形中的位置， $t$ 是类时参数， $F$ 是线性变换器， $c$ 是平移向量。

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刚体运动

刚体运动是一种特殊的仿射变形，不涉及任何剪切、拉伸或压缩。其变换矩阵 $F$ 是一个适当正交矩阵，以允许旋转但不允许镜射。其形式为： $\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)$ 其中 ${\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}$

背景：位移

连续体构形的改变会产生位移。位移包含两部分：刚体位移和变形。当粒子之间发生相对位移时，即为变形。

连接粒子在未变形构形与已变形构形中位置的向量称为位移向量 $u$ 。一个位移场是物体中所有粒子位移向量所组成的向量场。在叠加未变形与已变形组态的坐标系后，位移向量可表示为： $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X}$

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位移梯度张量

位移向量对材料坐标的偏微分，可得到材料位移梯度张量 $\nabla X u$ 。 $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\mathbf {F} -\mathbf {I}$ 其中 $F$ 是变形梯度张量。

范例

简单剪切

简单剪切是一种等容（体积不变）的平面变形。在这种变形中，存在一组具有特定参考方向的线元素，其长度和方向在变形过程中保持不变。^[3]

若 $e 1$ 是固定的参考方向，则主伸长率 $λ 1 = 1$ 。定义 $γ := F 12$ ，则简单剪切的变形梯度张量可表示为： ${\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ 也可以写成： ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}$

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变形 (物理学)

定义与表述

仿射变形

刚体运动

背景：位移

位移梯度张量

范例

简单剪切

参见

参考文献

延伸阅读

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