逗号范畴

在数学中，逗号范畴（特例：切片范畴）为范畴论的一类构造，提供了看待态射的一个不同的角度：不仅是简单地从范畴的一个对象联系到另一个对象，态射本身亦是另一个对象。这一记号由 F. W. Lawvere 在 1963 年引入^[1]，最开始并不广为人知。多个数学概念可处理为逗号范畴，逗号范畴本身亦确保部分极限和余极限存在。逗号范畴这一名称来自 Lawvere 的原始记号，使用了逗号表示该结构，不过现已由于视觉上易混淆而不采用该记号，而 Lawvere 本人亦不喜欢不提供额外信息的命名 “逗号范畴”。^[1]

定义

最一般的逗号范畴结构涉及同一上域的两个函子。通常，其中一个函子的域是 ${\displaystyle \mathbf {1} }$, 即单对象单态射的范畴。范畴论中的一些情形仅考虑一些特殊情形，但逗号范畴实际上宽泛得多。

一般形式

给定范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, 和函子 ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle T}$:

可按如下形式构建逗号范畴 ${\displaystyle (S\downarrow T)}$:

• 所有三元组 ${\displaystyle (A,B,h)}$ 汇得对象类，其中 ${\displaystyle A\in \operatorname {Ob} {\mathcal {A}},\,B\in \operatorname {Ob} {\mathcal {B}}}$, 而有所有 ${\displaystyle h:S(A)\rightarrow T(B)}$ 汇得分别的态射类 ${\displaystyle h\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,\,B)}$.
• 从 ${\displaystyle (A,B,h)}$ 到 ${\displaystyle (A',B',h')}$ 的态射为所有特定的有序对 ${\displaystyle (f,g)}$, 其中 ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$ 和 ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$ 分别为 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中的态射，使得下图交换：

Comma Diagram

态射复合取 ${\displaystyle (f',g')\circ (f,g)}$ 作 ${\displaystyle (f'\circ f,g'\circ g)}$, 只要后者有定义. 特定对象 ${\displaystyle (A,\,B,\,h)}$ 的单位态射即 ${\displaystyle ({\rm {id}}_{A},\,{\rm {id}}_{B})}$.

切片范畴

首先注意到 ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {A}}}$ 时的特例, 函子 ${\displaystyle S}$ 即恒等函子, 而 ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\textbf {1}}}$, 具唯一对象 ${\displaystyle *}$ 与唯一态射. 则对 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的某对象${\displaystyle A_{*}}$ 有 ${\displaystyle T(*)=A_{*}}$.

此时, 逗号范畴写作 ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})}$, 常称作 ${\displaystyle A_{*}}$ 上的切片范畴, 或对象在 ${\displaystyle A_{*}}$ 上的范畴. 对象 ${\displaystyle (A,*,h)}$ 可简化为有序对 ${\displaystyle (A,h)}$, 其中 ${\displaystyle h:A\rightarrow A_{*}}$. 有时 ${\displaystyle h}$ 亦记作 ${\displaystyle \pi _{A}}$. 切片范畴中从 ${\displaystyle (A,\pi _{A})}$ 到 ${\displaystyle (A',\pi _{A'})}$ 的态射 ${\displaystyle (f,\mathrm {id} _{*})}$ 此时可简化作使得下图交换的箭头 ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$:

余切片范畴

切片范畴的对偶即余切片范畴. 此时, ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$, ${\displaystyle S}$ 的域为 ${\displaystyle {\textbf {1}}}$, 而 ${\displaystyle T}$ 为恒等函子.

此时, 逗号范畴写作 ${\displaystyle (B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})}$, 其中 ${\displaystyle B_{*}=S(*)}$ 为据 ${\displaystyle S}$ 选定的 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的对象, 称作 ${\displaystyle B_{*}}$ 下的切片范畴, 或对象在 ${\displaystyle B_{*}}$ 下的范畴. 其对象为有序对 ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$, 其中 ${\displaystyle \iota _{B}:B_{*}\rightarrow B}$. 给定 ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$ 和 ${\displaystyle (B',\iota _{B'})}$, 余切片范畴中的态射为使得下图交换的对象 ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$:

Coslice Diagram

箭头范畴

${\displaystyle S}$ 和 ${\displaystyle T}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上的单位函子 (此时 ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$).

此时, 逗号范畴为箭头范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$, 其对象为 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的态射, 而其态射为 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的形状如下的交换图.^[2]

Arrow Diagram

其他变体

在切片与余切片范畴的情形中, 单位函子有时由其他某个函子替代, 这产生了一定程度上在伴随函子研究中有用的范畴族. 例如, 若 ${\displaystyle T}$ 为将Abel群范畴投射到其基集合范畴的遗忘函子, 而 ${\displaystyle s}$ 为某给定集 (视作从 ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ 出发的范畴), 则逗号范畴 ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ 以从 ${\displaystyle s}$ 到某群的基集合的映射为对象. 这亦关联到 ${\displaystyle T}$ 的左伴随, 即投射集合到以该集为基集合的自由 Abel 群的函子. 某种程度上, ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ 的始对象为典范内射 ${\displaystyle s\to T(G)}$, 其中 ${\displaystyle G}$ 为 ${\displaystyle s}$ 生成的自由群.

${\displaystyle (s\downarrow T)}$ 的对象称作从 ${\displaystyle s}$ 到 ${\displaystyle T}$ 的态射或有域 ${\displaystyle s}$ 的 ${\displaystyle T}$-结构化箭头.^[2]${\displaystyle (S\downarrow t)}$ 的对象称从 ${\displaystyle S}$ 到 ${\displaystyle t}$ 的态射或有上域 ${\displaystyle t}$ 的 ${\displaystyle S}$-结构化箭头.^[2]

另一特例聚焦于 ${\displaystyle S}$ 和 ${\displaystyle T}$ 均为域为 ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ 的函子. 若有 ${\displaystyle S(*)=A}$ 和 ${\displaystyle T(*)=B}$, 逗号范畴 ${\displaystyle (S\downarrow T)}$, 记作 ${\displaystyle (A\downarrow B)}$, 为离散范畴, 其对象为从 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle B}$ 的态射.

插入子范畴为逗号范畴的 (非满) 子范畴, 要求 ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$ 且 ${\displaystyle f=g}$. 逗号范畴亦可视作 ${\displaystyle S\circ \pi _{1}}$ 和 ${\displaystyle T\circ \pi _{2}}$ 的插入子, 其中 ${\displaystyle \pi _{1}}$ 和 ${\displaystyle \pi _{2}}$为积范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}$ 的投射函子.

性质

对每个逗号范畴, 总存在如下的遗忘函子:

• 域函子, ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {A}}}$, 其映射:
  • 对象: ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto A}$;
  • 态射: ${\displaystyle (f,g)\mapsto f}$;
• 上域函子, ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {B}}}$, 其映射:
  • 对象: ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto B}$;
  • 态射: ${\displaystyle (f,g)\mapsto g}$.
• 箭头函子, ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$, 其映射:
  • 对象: ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto h}$;
  • 态射: ${\displaystyle (f,g)\mapsto (Sf,Tg)}$;

用例

一些值得注意的范畴

一些有趣的范畴存在按照逗号范畴完成的自然定义.

• 基点集范畴为逗号范畴, ${\displaystyle (\cdot \downarrow {\mathsf {Set}})}$, 其中 ${\displaystyle \cdot }$ 为 (由函子选定的) 任意单元集, 而 ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$ 即集合范畴 (的单位函子). 该范畴的所有对象都是集合, 以一个函数选择集合中的部分元素, “基点”. 态射为将基点投射到基点的集合函数. 按近似的风格亦可构建基点空间 ${\displaystyle (\cdot \downarrow {\mathsf {Top}})}$.
• 环 ${\displaystyle R}$ 上的结合代数范畴为余切片范畴 ${\displaystyle (R\downarrow {\mathsf {Ring}})}$, 因为任意环同态 ${\displaystyle f\colon \,R\to S}$ 均诱导一个 ${\displaystyle S}$ 上的结合 ${\displaystyle R}$-代数结构, 反之亦然. 态射则为使图交换的映射 ${\displaystyle h\colon \,S\to T}$.
• 图范畴为 ${\displaystyle ({\mathsf {Set}}\downarrow D)}$, 其中 ${\displaystyle D\colon \,{\mathsf {Set}}\to {\mathsf {Set}}}$ 为从 ${\displaystyle s}$ 到 ${\displaystyle s\times s}$ 的函子. 对象 ${\displaystyle (a,\,b,\,f)}$ 含两个集合与一个函数, 其中 ${\displaystyle a}$ 为索引集, ${\displaystyle b}$ 为节点集, 而 ${\displaystyle f\colon \,a\to b^{2}}$ 用以选定 ${\displaystyle b}$ 中由索引输入的有序对. 也就是说 ${\displaystyle f}$ 标出了集合 ${\displaystyle b^{2}}$ 所有可能边中的特定边. 该范畴的态射由两个函数组成, 其中一个于索引集上, 另一个于节点集上. 对上面的一般定义, 它们必须 “同意”, 这意味着 ${\displaystyle (g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')}$ 必须满足 ${\displaystyle f'\circ g=D(h)\circ f}$. 换言之, 边对应于索引集中的具体元, 映射结果中, 同样的边亦须对应.
• 许多 “增强” 或 “标签” 运算均可以逗号范畴表示. 令 ${\displaystyle S}$ 为投射所有图到其边集合的函子, 并令 ${\displaystyle A}$ 为 (由函子选定的) 特定集, 此时 ${\displaystyle (S\downarrow A)}$ 即图范畴, 其边由 ${\displaystyle A}$ 中的元标记. 这种形式的逗号范畴通常称为 ${\displaystyle S}$-覆盖 ${\displaystyle A}$ 的对象——与前述 “${\displaystyle A}$ 上对象” 的概念密切相关. 这里, 对象均采取结构 ${\displaystyle (B,\pi _{B})}$, 其中 ${\displaystyle B}$ 为图, ${\displaystyle \pi _{B}}$ 为从 ${\displaystyle B}$ 到 ${\displaystyle A}$ 的边. 该图的节点可以相同方式标记.
• 范畴称局部 Cartesian 闭,若其所有切片均 Cartesian 闭 (见前文切片之陈述). 局部 Cartesian 闭范畴为依赖类型理论的分类范畴.

极限与万有态射

逗号范畴中的极限与余极限可能具 “遗传性”. 若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 完全, ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 为连续函子, 而 ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 为其他函子 (不必连续), 此时引出逗号范畴 ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ 亦完全,^[3] 且投射函子 ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}}$ 均连续. 类似地, 若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 余完全, 而 ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 余连续, 则 ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ 亦余完全, 投射函子亦余连续.

例如, 沿用前述图范畴之记号, 视其作逗号范畴, 则集合范畴完全且余完全, 而其单位函子连续且余连续. 因此图范畴完全且余完全.

抵达于选定余极限或出发于选定极限的万有态射, 可以逗号范畴的形式表示. 本质上是创建对象为锥, 且极限锥为终对象的范畴, 然后, 极限的每个万有态射即到终对象的态射. 这一工作在对偶情形中, 即对象为拥有始对象的余锥的范畴. 例如, 令 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为范畴, 且函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ 递送每个对象 ${\displaystyle c}$ 到 ${\displaystyle (c,\,c)}$, 每个箭头 ${\displaystyle f}$ 到 ${\displaystyle (f,\,f)}$. 从 ${\displaystyle (a,\,b)}$ 到 ${\displaystyle F}$ 的万有态射据定义含对象 ${\displaystyle (c,\,c)}$ 与携万有性质的态射 ${\displaystyle \rho \colon \,(a,\,a)\to (b,\,b)}$, 使得对任意态射 ${\displaystyle \rho \colon \,(a,\,b)\to (d,\,d)}$ 总存在唯一态射 ${\displaystyle \sigma :c\rightarrow d}$ 满足 ${\displaystyle F(\sigma )\circ \rho =\rho '}$. 换言之, 这是在逗号范畴 ${\displaystyle ((a,b)\downarrow F)}$ 中的对象, 到该范畴中的任何其他对象均存在态射, 即始对象. 这也用于定义 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的余积, 只要其存在.

伴随

William Lawvere 证明, 函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ 与 ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 为伴随对, 当且仅当分别以 ${\displaystyle id_{\mathcal {D}}}$ 和 ${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$ 为单位函子的逗号范畴 ${\displaystyle (F\downarrow id_{\mathcal {D}})}$ 和 ${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow G)}$ 同构, 而改逗号范畴中的等价元可投射于 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$ 中的相同元. 这使得伴随得以不必涉及集合来序数, 而实际上这也是引入逗号范畴的最初动机.

自然变换

若 ${\displaystyle S,T}$ 的域相同, 则在 ${\displaystyle S\downarrow T}$ 中以 ${\displaystyle A=B,A'=B',f=g}$ 定义的图将与定义自然变换 ${\displaystyle S\to T}$ 的图同一. 两个极好的不同在于, 自然变换是结构 ${\displaystyle S(A)\to T(A)}$ 型态射的特定总体, 而逗号范畴的对象涵盖所有如此结构形态射. 到达逗号范畴的函子选定这一特定态射总体. 这也由 S.A. Huq^[4] 的观点描述为, 给定 ${\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$, 自然变换 ${\displaystyle \eta :S\to T}$ 相当于映射每个元 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle (A,A,\eta _{A})}$, 每个态射 ${\displaystyle f=g}$ 到 ${\displaystyle (f,g)}$ 的函子 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$, 这是自然变换 ${\displaystyle S\to T}$ 和函子 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ 间的双射对应, 这是从 ${\displaystyle S\downarrow T}$ 出发的两个遗忘函子的截面.