非线性σ模型

在量子场论中，非线性σ模型（nonlinear sigma model） 描述一个纯量场 ${\displaystyle \sigma (x)\in M}$ 。M是目标流形。${\displaystyle x\in R^{3+1}}$属于闵考斯基时空。^[1]

定义

若M有黎曼张量 g，拉格朗日量是^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\sigma \partial _{\nu }\sigma -V(\sigma )}$

O(3)非线性σ模型

设${\displaystyle \sigma =n}$。二维的非线性O(3)模型是

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}$

其中 ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3})}$，${\displaystyle n\cdot n=1}$，${\displaystyle x\in R^{2},\ \mu =1,2}$。

n是 S²→ S² 的函数。第三个同伦群

${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\mathbb {Z} }$

可以将这些函数分类。上文理论的经典解是O(3) 瞬子。

参见

• WZW模型
• 富比尼–施图度量
• 里奇流
• 泊里雅科夫作用量
• 大N展开