牛頓分形
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牛頓分形(英語:Newton fractal)是將牛頓法應用於一給定多項式p(Z) ∈ ℂ[Z]或超越函數而得到的複平面上的一個邊界集。它是由牛頓法所定義的亞純函數z ↦ z − p(z)/p′(z)的朱利亞集。當不存在吸引循環(階數大於1)時,它將複平面劃分為不同的區域Gk,每個區域與多項式的根ζk相關聯,其中k = 1, …, deg(p)。此時牛頓分形類似於曼德博集合,並且與其他分形一樣,它將簡單的數學描述變成了非常繁複的圖像。從數值分析的角度而言,牛頓分形表現出牛頓法在二次收斂區域之外對於初始點的選擇非常敏感。
將複平面上的某一點作為牛頓法迭代zn + 1 := zn − p(zn)/p'(zn)的初始點z0,可以通過迭代得到一個點序列z1, z2, …,。如果這一序列收斂於根ζk,則將z0劃入區域Gk。如此便能將複平面上的這一點與多項式的某一個根相對應。不過值得注意的是,對於二次以上的多項式,都存在一些點會使得牛頓迭代無法收斂到任何根上,例如不同根的吸引域的邊界。甚至存在一些多項式,某些開集中的任意初始點都無法收斂到任何根上。一個簡單的例子是z3 − 2z + 2,某些點會被吸引到循環0、1、0、1……中,而不被任何根所吸引。
如果以一個開集中的任意點為初始點,迭代最終都收斂於某一根或循環,則該集合是這一牛頓迭代的法圖集。一個法圖集對應於一個根或循環。所有這些法圖集的併集與朱利亞集為互補集。這一朱利亞集即是法圖集的共同邊界。因此,朱利亞集中的每個點都是每個法圖集的一個聚點。正是由於這一性質導致了朱利亞集的分形結構(當多項式的次數大於2時)。
為了繪製一個牛頓分形圖像,可以首先選擇指定數量d的復點(ζ1, …, ζd)並計算多項式的係數(p1, …, pd)
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於是,對於複平面上的一個矩形網格
找到每個點(m,n)對應的根ζk(m,n)的編號k(m,n),並通過為每一點分配一個顏色fk(m,n)來填充這一M × N網格。另外,顏色可以取決於距離D(m,n)。對於某一固定的小ε > 0,距離D可以定義為第一個使得|zD − ζk(m,n)| < ε成立的D值。