1 + 2 + 3 + 4 + …維基百科,自由的 encyclopedia 無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然數的和,是一個發散級數,其數學式也寫作 ∑ n = 1 ∞ n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n} 橫軸為1, 2, 3, 4, ⋯,縱軸為相應於橫軸的級數1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。圖中曲線為平滑後之漸近線,其與縱軸相交的截距值為−1⁄12 此級數前 n 項的部分和即是三角形數: ∑ n = 1 n n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}} 儘管這個級數的和第一眼看起來不會有任何有意義的值,透過黎曼ζ函數正規化(英語:Zeta function regularization)與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 − 1 12 {\displaystyle -{\frac {1}{12}}} ,表示為: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}} 此結果在複分析、量子力學及弦理論等領域中有所應用。
無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然數的和,是一個發散級數,其數學式也寫作 ∑ n = 1 ∞ n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n} 橫軸為1, 2, 3, 4, ⋯,縱軸為相應於橫軸的級數1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。圖中曲線為平滑後之漸近線,其與縱軸相交的截距值為−1⁄12 此級數前 n 項的部分和即是三角形數: ∑ n = 1 n n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}} 儘管這個級數的和第一眼看起來不會有任何有意義的值,透過黎曼ζ函數正規化(英語:Zeta function regularization)與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 − 1 12 {\displaystyle -{\frac {1}{12}}} ,表示為: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}} 此結果在複分析、量子力學及弦理論等領域中有所應用。