亞阿貝爾群

群論中，亞阿貝爾群是指其換位子群是阿貝爾群的一種群，也就是說，一個群G是亞阿貝爾群當且僅當G有阿貝爾的正規子群A，使得G/A也是阿貝爾群。

亞阿貝爾群的子群，及亞阿貝爾群在群同態下的像，也都是亞阿貝爾群。

亞阿貝爾群正是其導出列長不大於2的可解群。

例子

• 二面體群都是亞阿貝爾群，因為有指數為2的循環正規子群。更一般地說，廣義二面體群都是亞阿貝爾群，因為有指數為2的阿貝爾正規子群。
• 設F為域，在F上作用的仿射變換群${\displaystyle x\mapsto ax+b}$（a非零）是亞阿貝爾群。這個群的阿貝爾正規子群是平移變換群${\displaystyle x\mapsto x+b}$，阿貝爾商群是位似變換群${\displaystyle x\mapsto ax}$。若F為q個元素的有限域，則這個亞阿貝爾群的階為q(q-1)。
• 冪零類不大於3的冪零群是亞阿貝爾群。
• 點燈夫群是亞阿貝爾群。
• 所有小於24階的群都是亞阿貝爾群。24階的對稱群S₄，雖然是可解群，但不是亞阿貝爾群，因其換位子群是交錯群A₄，而A₄不是阿貝爾群。
• 所有p⁵階（p為素數）的群都是亞阿貝爾群。

參見

• 亞循環群

參考

• Robinson, Derek J.S. A Course in the Theory of Groups. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1996. ISBN 978-0-387-94461-6.

外部連結

• Ryan Wisnesky. Solvable groups (PDF). [2013-09-07]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-09-29）.
• Metabelian group. Groupprops, The Group Properties Wiki. [2013-09-07]. （原始內容存檔於2020-10-25）.