換位子群

在數學尤其是抽象代數中，群的換位子群或導群，另名交換子群，意指該群所有換位子所生成的子群，記作 ${\displaystyle [G,G]}$、${\displaystyle G'}$ 或 ${\displaystyle G^{(1)}}$ 。任意給定群均對應一個確定的換位子群。作為群 ${\displaystyle G}$ 的正規子群，換位子群 ${\displaystyle G'}$ 是使得 ${\displaystyle G}$ 對它的商群 ${\displaystyle G/G'}$ 交換的最小正規子群。換言之，換位子群表徵群 ${\displaystyle G}$ 的可交換程度，根據換位子的定義 ${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$, ${\displaystyle x}$ 與 ${\displaystyle y}$ 交換，即 ${\displaystyle xy=yx}$, 當且僅當 ${\displaystyle [x,y]=e}$, 即，群內可交換的元素越多，換位子就越少，換位子群也就越小。顯然，交換群的換位子群為平凡群${\displaystyle \{e\}}$.

換位子

主條目：換位子

對群元 ${\displaystyle g,\,h\in G}$, ${\displaystyle g}$ 與 ${\displaystyle h}$ 的換位子為 ${\displaystyle [g,\,h]=g^{-1}h^{-1}}$. 換位子 ${\displaystyle [g,\,h]}$ 等價於群幺 ${\displaystyle e}$ 當且僅當 ${\displaystyle gh=hg}$, 即二者交換。一般情況下，顯然有 ${\displaystyle gh=hg[g,\,h]}$.

該記號的順序任定，有下述不同的定義方式，此時換位子將左乘，而非右乘二者的積：

${\displaystyle [g,\,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$,

此時有 ${\displaystyle gh=[g,\,h]hg}$ 而非 ${\displaystyle gh=hg[g,\,h]}$.

對 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle h}$ 來說，群 ${\displaystyle G}$ 中形如 ${\displaystyle [g,\,h]}$ 的元即稱其換位子。幺 ${\displaystyle e=[e,\,e]}$ 恆為換位子。群 ${\displaystyle G}$ 交換當且僅當其換位子群平凡，即 ${\displaystyle G'=\{e\}}$.

下例對群 ${\displaystyle G}$ 元 ${\displaystyle s,\,g,\,h}$ 成立：

1. ${\displaystyle [g,\,h]^{-1}=[h,\,g]}$;
2. ${\displaystyle [g,\,h]^{s}=[g^{s},\,h^{s}]}$，其中 ${\displaystyle g^{s}:=s^{-1}gs}$ 意指 ${\displaystyle g}$ 關於 ${\displaystyle s}$ 的共軛；
3. 由群同態保持：

   ${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \,&G\to H,\\&[g,\,h]\mapsto [f(g),\,f(h)].\end{aligned}}}$

前兩者蘊含 ${\displaystyle G}$ 的換位子集對交換與共軛封閉。對第三條取 ${\displaystyle H=G}$, 即知換位子集穩定於 ${\displaystyle G}$ 的任意自同態，這正是第二條的一般情況，只需取 ${\displaystyle f}$ 作 ${\displaystyle G}$ 的共軛自同構：

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \,&G\to G\\&x\mapsto x^{s}:=s^{-1}xs,\end{aligned}}}$

即得第二條。

換位子的積未必是換位子。典例是由 ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ 生成的自由群內的 ${\displaystyle [a,\,b][c,\,d]}$. 已知存在兩換位子其積非換位子的最小有限群，階數為 96，在同構意義上有兩種如此的 96 階群。^[1]

定義

給定群 ${\displaystyle G}$，其換位子群 ${\displaystyle [G,G]}$（或稱導群，記 ${\displaystyle G'}$ 或 ${\displaystyle G^{(1)}}$） 是 ${\displaystyle G}$ 的所有換位子所生成的子群：

${\displaystyle [G,G]=\{g^{-1}h^{-1}gh\,\colon \,g,h\in G\}.}$

由定義知，任意 ${\displaystyle [G,\,G]}$ 的元有形式

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}[g_{i},\,h_{i}]=[g_{1},\,h_{1}]\cdots [g_{n},\,h_{n}],\,n\in \mathbb {N} _{+},\,\forall i,\,g_{i},\,h_{i}\in G.}$

此外由

${\displaystyle \left(\prod _{i}[g_{i},\,h_{i}]\right)^{s}=\prod _{i}[g_{i}^{s},\,h_{i}^{s}]}$

知換位子群亦對 ${\displaystyle G}$ 正規。對任意同態 ${\displaystyle f\colon \,G\to H}$，

${\displaystyle f\colon \,\prod _{i}[a_{i},\,b_{i}]\mapsto \prod _{i}[f(a_{i}),\,f(b_{i})]=[f(a_{1}),\,f(b_{1})]\cdots [f(a_{n}),\,f(b_{n})],}$

故而 ${\displaystyle f([G,\,G])\subseteq [H,\,H].}$

這表明換位子群可視作群範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ 的函子，其部分含義將於下文探討。此外倘取 ${\displaystyle G=H}$, 知換位子群於 ${\displaystyle G}$ 的任意自同態下穩定：換言之，${\displaystyle [G,\,G]}$ 為 ${\displaystyle G}$ 的全特徵子群​（英語），這一性質遠強於正規性。

換位子群亦定義作 ${\displaystyle G}$ 的子集

${\displaystyle \left\{\left.\prod _{i\in I}g_{i}\right|\,\exists \varphi \colon I\leftrightarrow I,\,\prod _{i\in I}g_{\varphi (i)}=e_{G},\,\forall i,\,g_{i}\in G,\,I\subset \mathbb {N} \right\},}$

即那些存在某種重排使得結果為幺的群元乘積構成的集合。

導集序列

導集能夠迭代構造：

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=\left[G^{(n-1)},\,G^{(n-1)}\right],\quad n\in \mathbb {N} .}$

群 ${\displaystyle G^{(i)},i=2,\,3,\,\dots }$ 依次稱 ${\displaystyle n}$ 階導群。下降正規序列

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

即稱導出序列。

對有限群而言，導出序列終止於完滿群，其平凡與否皆有可能。而對於無限群，其導出序列不必終止於有限步，而可能以超限遞歸至持續無窮序數步，繼而得到超限導出序列，其最終終止於群的完美核。

Abel 化

給定群 ${\displaystyle G}$, 商群 ${\displaystyle G/N}$ 交換當且僅當 ${\displaystyle [G,\,G]\subset N}$.

商群 ${\displaystyle G/[G,\,G]}$ 交換，稱 ${\displaystyle G}$ 的 Abel 化，常記作 ${\displaystyle G^{\mathrm {ab} }}$ 或 ${\displaystyle G_{\mathrm {ab} }}$.

有範疇方向的實用詮釋，映射 ${\displaystyle \varphi \colon \,G\to G^{\mathrm {ab} }}$. 換言之， ${\displaystyle \varphi }$ 泛於任意從 ${\displaystyle G}$ 到 Abel 群 ${\displaystyle H}$ 的同態，或稱任意從 ${\displaystyle G}$ 到 Abel 群 ${\displaystyle G}$ 的同態均可經由 ${\displaystyle \varphi }$ 唯一分解：對任意 Abel 群 ${\displaystyle H}$ 與群同態 ${\displaystyle f\colon \,G\to H}$, 存在唯一同態 ${\displaystyle F\colon \,G^{\rm {ab}}\to H}$ 使得 ${\displaystyle f=F\circ \varphi }$. 正如由泛映射定義的對象通常所具的特點般，這表徵 Abel 化子群 ${\displaystyle G^{\rm {ab}}}$ 在典範同構意義下的唯一性，而顯示構造的 ${\displaystyle G\to G/[G,\,G]}$ 表徵其存在性。

Abel 化函子是從 Abel 群範疇 ${\displaystyle {\mathsf {AbGrp}}}$ 到群範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}}$ 的包含函子的左伴隨。Abel 化函子 ${\displaystyle {\mathsf {AbGrp}}\to {\mathsf {Grp}}}$ 的存在性令範疇 ${\displaystyle {\mathsf {AbGrp}}}$ 擁有群範疇的反射子範疇，定義為其包含函子擁有左伴隨的全子範疇。

${\displaystyle G^{\rm {ab}}}$ 另有一重要釋義 ${\displaystyle H_{1}(G,\,\mathbb {Z} )}$, 群 ${\displaystyle G}$ 的整係數一階同調群。

相關的群

群 ${\displaystyle G}$ 交換當且僅當其導群平凡：${\displaystyle [G,\,G]=\{e\}}$, 或等價地說，當且僅當其等於自身的 Abel 化。關於 Abel 化，定義見前述。

群 ${\displaystyle G}$ 完滿當且僅當其導群等於自身：${\displaystyle [G,\,G]=G}$，或等價地說，當且僅當其 Abel 化平凡。這「相反」於阿貝爾群。

滿足 ${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} ,\,G^{(n)}=\{e\}}$ 的群稱可解群，這一條件寬於交換，亦即取 ${\displaystyle n=1}$ 的情形。

滿足 ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,G^{(n)}\neq \{e\}}$ 的群稱非可解群。

對序數 ${\displaystyle \alpha }$ 滿足 ${\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}$ 的群稱亞阿貝爾群，這一條件寬於可解，亦即取 ${\displaystyle \alpha <\infty }$ 的情形。

完滿群

主條目：完滿群

若群 ${\displaystyle G}$ 的導群等於自身，即 ${\displaystyle G^{(1)}=G}$, 稱該群完滿群，包含非交換單群及不動域 ${\displaystyle \mathbb {k} }$ 上的特殊線性群 ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {k} )}$.

例子

• 任意 Abel 群的換位子群均平凡。
• 域或除環 ${\displaystyle \mathbb {k} }$ 上的一般線性群 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {k} )}$ 的換位子群等於特殊線性群 ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {k} )}$, 若 ${\displaystyle n\neq 2}$, 或 ${\displaystyle \mathbb {k} }$ 不是擁有兩個元素的域。
• 4 次交錯群 ${\displaystyle A_{4}}$ 的換位子群即 Klein 四元群 ${\displaystyle V_{4}}$。
• ${\displaystyle n}$ 次對稱群 ${\displaystyle S_{n}}$ 的換位子群即 ${\displaystyle n}$ 次交錯群 ${\displaystyle A_{n}}$。
• 四元群 ${\displaystyle Q=\{1,\,-1,\,{\rm {i}},\,{\rm {-i}},\,{\rm {j}},\,{\rm {-j}},\,{\rm {k}},\,{\rm {-k}}\}}$ 的換位子群為 ${\displaystyle \{1,\,-1\}}$。

從 ${\displaystyle \operatorname {Out} }$ 出發的映射

由於導群是特徵子群​（英語），任意 ${\displaystyle G}$ 上的自同構均誘導其 Abel 化子群上的自同構。由於 Abel 化子群本身是 Abel 群，內自同構平凡，從而得到映射

${\displaystyle \operatorname {Out} G\to \operatorname {Aut} G^{\rm {ab}}}$.