八角化六階正方形鑲嵌

在幾何學中，八角化六階正方形鑲嵌又稱為四角化六階四菱形鑲嵌是一種雙曲面鑲嵌，其為半正鑲嵌大斜方截半四階六邊形鑲嵌的對偶鑲嵌，整體由直角三角形拼合，密鋪於雙曲平面。八角化六階正方形鑲嵌是將六階正方形鑲嵌中的每一個正方形從重心分割為八個全等的直角三角形所組成的鑲嵌，其面的布局以符號V4.8.12表示形成的公共頂點有4個三角形、8個三角形和12個三角形的三種公共頂點。

八角化六階正方形鑲嵌

龐加萊圓盤模型
類別	雙曲半正鑲嵌對偶 雙曲鑲嵌
對偶多面體	大斜方截半四階六邊形鑲嵌
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	dtr{6,4}
組成與佈局
面的種類	直角三角形
面的佈局 （英語：Face configuration）	V4.8.12
對稱性
對稱群	[6,4], (*642)
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	[6,4]+, (642) [4+,6]
特性
面可遞
圖像
大斜方截半四階六邊形鑲嵌 （對偶多面體）

結構

八角化六階正方形鑲嵌又稱為四角化六階四菱形鑲嵌是因為其可以視為六階四菱形鑲嵌經過四角化（Kleetope）變換而構造出來的象。它也可以視為將四階六邊形鑲嵌中的每一個正六邊形從重心分割為12個全等的直角三角形所組成的鑲嵌，即十二角化四階六邊形鑲嵌。

八角化六階正方形鑲嵌的結構是不可能存在於平面上的，由於在歐氏幾何中過六邊形重心內分割出來三角形應為30-60-90的直角三角形，然而在此結構中60度角又可以做為正方形的內角，因此此結構在歐氏幾何中得到矛盾無法存在，只能存在於羅氏幾何中。

在藝術中

主條目：圓極限IV

在艾雪的《圓極限 IV（天堂和地獄^[1]）》作品^[2]用了此種鑲嵌將蝙蝠與天使畫在龐加萊圓盤模型上^[3]，天使和蝙蝠的頭部與翅膀皆位於八角化六階正方形鑲嵌的頂點上，其中翅膀的位置是經過精心設計計算的^[4]，正好位於六階正方形鑲嵌或四階六邊形鑲嵌的頂點上，因此其對稱群與八角化六階正方形鑲嵌相同，同為[4⁺,6]^[5]。

相關多面體及鑲嵌

八角化六階正方形鑲嵌為大斜方截半四階六邊形鑲嵌的對有鑲嵌，與一系列的大斜方截半四階多邊形鑲嵌及其對偶有類似的拓樸結構：

大斜方截半四階多面體和鑲嵌系列： 4.8.2n

對稱群 *n42 [n,4]	球面鑲嵌		歐氏鑲嵌	緊湊型雙曲鑲嵌				仿緊空間	非緊空間
	*242 [2,4] D4h	*342 [3,4] Oh	*442 [4,4] P4m	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
大斜方截半 頂點	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞	4.8.∞
考克斯特紀號 施萊夫利符號	tr{2,4}	tr{3,4}	tr{4,4}	tr{5,4}	tr{6,4}	tr{7,4}	tr{8,4}	tr{∞,4}	tr{iπ/λ,4}
大斜方截半 對偶	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞	V4.8.∞
考克斯特紀號

參見

• 四角化菱形鑲嵌