外代數

外代數（英語：Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代數（Grassmann algebra），以紀念數學家赫爾曼·格拉斯曼。

左圖：由向量的有序集所定義出的定向

右圖：反定向，對應到加上負號的外積

實外代數中，n 階元素的幾何詮釋：n = 0（具有正負號的點），1（具有指向的線段，即向量），2（具有定向的平面元），3（具有定向的體積）。n個向量的外積可以圖像化為n維幾何物體（例如n維平行六面體, n維橢球）；其大小為超體積（hypervolume），其定向的定義由(n − 1)維邊界以及物體內部在哪一側來決定。^[1][2]

數學上，向量空間${\displaystyle V}$的外代數是一個特定有單位的結合代數，其包含了${\displaystyle V}$為其中一個子空間。它記為${\displaystyle \land (V)}$或${\displaystyle \land \cdot (V)}$. 而它的乘法，稱為楔積或外積，記為${\displaystyle \land }$. 楔積是結合的和雙線性的；其基本性質是它在${\displaystyle V}$上是交錯的，也就是：

${\displaystyle v\wedge v=0}$，對於所有向量${\displaystyle v\in V}$

這表示

${\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u}$，對於所有向量${\displaystyle u,v\in V}$，以及

${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=0}$，當${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ 線性相關時。

值得注意的是，以上三性質只對${\displaystyle V}$中向量成立，不是對代數${\displaystyle \land (V)}$中所有向量成立。

外代數事實上是「最一般的」滿足這些屬性的代數。這意味着所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。${\displaystyle \land (V)}$的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示，請參看下文。

形式為${\displaystyle v_{1}\land v_{2}\land \ldots \land v_{k}}$的元素，其中${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$在${\displaystyle V}$中，稱為${\displaystyle k}$-向量。所有${\displaystyle k}$-向量生成的${\displaystyle \land (V)}$的子空間稱為${\displaystyle V}$的${\displaystyle k}$-階外冪，記為${\displaystyle \land ^{k}(V)}$。外代數可以寫作每個${\displaystyle k}$階冪的直和：

${\displaystyle \Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}V}$

該外積有一個重要性質，就是${\displaystyle k}$-向量和${\displaystyle I}$-向量的積是一個${\displaystyle k+I}$-向量。這樣外代數成為一個分次代數，其中分級由${\displaystyle k}$給出。這些${\displaystyle k}$-向量有幾何上的解釋：2-向量${\displaystyle u\land v}$代表以${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$為邊的帶方向的平行四邊形，而3-向量${\displaystyle u\land v\land w}$代表帶方向的平行六面體，其邊為${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, 和${\displaystyle w}$。

外冪的主要應用在於微分幾何，其中他們用來定義微分形式。因而，微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。

定義及運算律

外代數有很多種等價的定義，下面的定義是最簡潔的一個。

定義: 設 ${\displaystyle V}$是域 ${\displaystyle K}$上的一個向量空間，讓${\displaystyle T^{k}(V):={\underset {k}{\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} }}}$則定義

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots }$

令 ${\displaystyle I}$為 ${\displaystyle V}$的張量代數的理想（即雙邊理想），該理想是由所有形如${\displaystyle v\otimes v}$的張量生成的（其中${\displaystyle v\in V}$任意），則將${\displaystyle V}$上的外代數${\displaystyle \Lambda (V)}$定義為商代數${\displaystyle T(V)/I}$，即

${\displaystyle \Lambda (V):=T(V)/I,}$

並且把${\displaystyle v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\in T^{k}V}$的等價類^[3]${\displaystyle [v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in T(V)/I}$記為${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}}$，其中 ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$。設${\displaystyle k=0,1,2,\ldots \,,}$ 稱

${\displaystyle \Lambda ^{k}(V):=(T^{k}V)/I}$

為${\displaystyle V}$的${\displaystyle k}$-階外冪（${\displaystyle k}$th exterior power of ${\displaystyle V}$），稱${\displaystyle \land ^{k}(V)}$中的元素為${\displaystyle k}$-向量（${\displaystyle k}$-multivector）。

註：

1. ${\displaystyle \forall \lambda \in K}$，當且僅當${\displaystyle \lambda =0}$時才有${\displaystyle \lambda \in I}$，因此，可以把${\displaystyle \Lambda ^{0}(V)=K/I}$等同於${\displaystyle K}$，並且把${\displaystyle [\lambda ]\in \Lambda ^{0}(V)}$記為${\displaystyle \lambda }$；基於類似的原因，可以把${\displaystyle \Lambda ^{1}(V)=V/I}$等同於${\displaystyle V}$，而且把${\displaystyle [v]\in \Lambda ^{0}(V)}$記為${\displaystyle v}$。這一點是前面所講的能夠把${\displaystyle [v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in \Lambda ^{k}(V)}$記為 ${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}}$的特例和前提。
2. 當${\displaystyle k>1}$時，${\displaystyle k}$-向量並不僅限於形如${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}}$的元素，例如，${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}+w_{1}\wedge w_{2}}$也是2-向量，其中${\displaystyle v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in V}$.
3. 理想${\displaystyle I}$中的元素並不僅限於形如${\displaystyle v\otimes v}$的張量，例如，
   1. ${\displaystyle \forall v\in V,\forall t\in T(V)}$, 必定有 ${\displaystyle v\otimes v\otimes t\in I}$和${\displaystyle t\otimes v\otimes v\in I}$.
   2. ${\displaystyle \forall v,w\in V}$, 由於${\displaystyle (v+w)\otimes (v+w)\in I}$和${\displaystyle v\otimes v\in I}$以及${\displaystyle w\otimes w\in I}$，顯然有${\displaystyle v\otimes w+w\otimes v=(v+w)\otimes (v+w)-v\otimes v-w\otimes w\in I}$，這就有一個推論：所有的二階對稱張量都在理想${\displaystyle I}$中。
   3. 由於上面的兩個結論，${\displaystyle \forall v,w\in V}$，我們有${\displaystyle v\otimes w\otimes v=v\otimes (w\otimes v+v\otimes w)-v\otimes v\otimes w\in I}$，這是因為等式右邊的每一項都在${\displaystyle I}$中。對張量${\displaystyle t\in T(V)}$的階數作數學歸納法，則可以證明：${\displaystyle \forall v\in V}$, ${\displaystyle \forall t\in T(V)}$，總有${\displaystyle v\otimes t\otimes v\in I}$。
4. 設${\displaystyle k=2,3,\ldots }$，則${\displaystyle \forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)}$，${\displaystyle \alpha }$作為等價類含有唯一的一個完全反對稱的代表元${\displaystyle t\in T^{k}(V)}$，可以把這個${\displaystyle k}$-階的完全反對稱張量等同於${\displaystyle \alpha }$, 詳見後面的「反對稱算子和外冪」一節。在有些文獻中，${\displaystyle k}$-向量就是以這種方式定義的。

運算律 將上面的注中的內容用${\displaystyle \wedge }$寫出，則分別給出

(1) ${\displaystyle \forall \lambda \in K,\alpha \in \Lambda (V)}$, ${\displaystyle \lambda \wedge \alpha =\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha .}$

證明如下： 作為等價類，我們從${\displaystyle \alpha \in \Lambda (V)=T(V)/I}$中任意挑選一個代表元${\displaystyle t}$，則${\displaystyle t\in T(V)}$而且${\displaystyle \alpha =[t]}$。根據商代數的定義，

${\displaystyle \lambda \wedge \alpha =[\lambda ]\wedge [t]=[\lambda \otimes t]=[\lambda t]=\lambda [t]=\lambda \alpha .}$

類似地，可以證明${\displaystyle \alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha \,.}$

(2) 根據注3.1中的內容，顯然有${\displaystyle v\wedge v=0,\,\forall v\in V}$.

(3) 根據注3.2中的內容，對任意${\displaystyle v,w\in V}$成立着

${\displaystyle v\wedge w=-w\wedge v.}$

註：即使${\displaystyle K}$的特徵為2，這個公式也是對的，只不過此時有${\displaystyle -1=1}$而已。

(4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質，運算${\displaystyle \wedge :\Lambda (V)\times \Lambda (V)\rightarrow \Lambda (V)}$滿足結合律和分配律：

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),}$

${\displaystyle (\alpha +\beta )\wedge \theta =\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta ,}$

${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\theta )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \theta ,}$

其中${\displaystyle \alpha ,\beta ,\theta \in \Lambda (V)}$都是任意的。

以前兩條性質為例，其證明如下：設張量${\displaystyle a,b,t\in T(V)}$分別是${\displaystyle \alpha ,\beta ,\theta }$中的代表元，即${\displaystyle \alpha =[a]}$, ${\displaystyle \beta =[b]}$, ${\displaystyle \theta =[t]}$, 則

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =([a]\wedge [b])\wedge [t]=[a\otimes b]\wedge [t]=[(a\otimes b)\otimes t]=[a\otimes (b\otimes t)]=[a]\wedge [b\otimes t]=[a]\wedge ([b]\wedge [t])=\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),}$

${\displaystyle (\alpha +\beta )\wedge \theta =([a]+[b])\wedge [t]=[a+b]\wedge [t]=[(a+b)\otimes t]=[a\otimes t+b\otimes t]=[a\otimes t]+[b\otimes t]=[a]\wedge [t]+[b]\wedge [t]=\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta .}$

(5) 根據上面的(3)和(4)，用數學歸納法可以證明：${\displaystyle \forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)\,,\,\beta \in \Lambda ^{l}(V)\,,}$

${\displaystyle \beta \wedge \alpha =(-1)^{kl}\alpha \wedge \beta .}$

證明從略。

基底和維數

若${\displaystyle V}$的維數是${\displaystyle n}$而${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}$是${\displaystyle V}$的基，則集合

${\displaystyle \{e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$

是${\displaystyle k}$階外冪${\displaystyle \land ^{k}(V)}$的一個基。理由如下：給定任何如下形式的楔積

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}}$

則每個向量${\displaystyle v_{j}}$可以記為基向量${\displaystyle e_{i}}$的一個線性組合；利用楔積的雙線性性質，這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為0；任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序，在交換任何兩個基向量的時候變換符號。一般來講，最後基${\displaystyle k}$-向量前的係數可以用通過積${\displaystyle e_{i}}$來描述${\displaystyle v_{j}}$的矩陣的子式來計算。

數一下基元素，我們可以看到${\displaystyle \land ^{k}(V)}$的維數是n 取 k。特別的有， ${\displaystyle \land ^{k}(V)=\left\{0\right\}}$對於${\displaystyle k>n}$.

外代數是一個分級代數，是如下直和

${\displaystyle \Lambda (V)=\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}(V)}$

其維數等於二項式係數之和，也就是${\displaystyle 2^{n}}$.

例子: 歐氏三維空間的外代數

考慮空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$，其基為${\displaystyle \left\{i,j,k\right\}}$。一對向量

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} }$

的楔積為

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} )+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} )+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )}$

其中${\displaystyle \left\{i\land j,i\land k,j\land k\right\}}$是三維空間${\displaystyle \land ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$的基底。

再加一個向量

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {i} +w_{2}\mathbf {j} +w_{3}\mathbf {k} }$,

這三個向量的楔積是

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )}$

其中${\displaystyle i\land j\land k}$是一維空間${\displaystyle \land ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$的基底。

空間${\displaystyle \land ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, 而空間${\displaystyle \land ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$是${\displaystyle \mathbb {R} }$。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間${\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$，這是八維向量空間

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8}):=(a_{1},a_{2}\mathbf {i} +a_{3}\mathbf {j} +a_{4}\mathbf {k} ,a_{5}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} +a_{6}\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} +a_{7}\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} ,a_{8}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )}$.

那麼，給定一對8維向量${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$, 其中${\displaystyle a}$如上給出，而

${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6},b_{7},b_{8})}$,

${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$的楔積如下(用列向量表達),

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\\a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\\a_{1}b_{5}+a_{5}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{6}+a_{6}b_{1}+a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2}\\a_{1}b_{7}+a_{7}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\\a_{1}b_{8}+a_{8}b_{1}+a_{2}b_{7}+a_{7}b_{2}-a_{3}b_{6}-a_{6}b_{3}+a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}\end{pmatrix}}}$.

容易驗證8維楔積以向量${\displaystyle \left(1,0,0,0,0,0,0,0\right)}$為乘法幺元。也可以驗證該${\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$代數的楔積是結合的(也是雙線性的):

${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} =\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\qquad \qquad \forall \,\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \Lambda (\mathbf {R} ^{3}),}$

所以該代數是有單位且結合的。

叉乘的實質，贗向量與贗標量

對三維歐幾里得空間${\displaystyle E^{3}}$可以建立一個線性同構${\displaystyle \phi :\Lambda ^{2}(E^{3})\rightarrow E^{3}}$如下：任取${\displaystyle E^{3}}$的右手的標準正交基${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$，規定${\displaystyle \phi }$把${\displaystyle {\boldsymbol {i}}\wedge \mathbf {j} }$，${\displaystyle {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\wedge {\boldsymbol {i}}}$分別映射為${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$，則${\displaystyle \phi }$的定義與右手的標準正交基如何選取無關。

不難看出，對任意向量${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$，這個線性同構把${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}}$映射為${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}$。這就是叉乘（向量積）的實質。例如，${\displaystyle E^{3}}$中平行四邊形${\displaystyle ABCD}$的面積向量可以表示為${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}}$. 經過推廣之後，高維黎曼流形${\displaystyle (M,\mathbf {g} )}$中的緊的二維曲面${\displaystyle \Sigma }$的面積則可以用

${\displaystyle \int _{\Sigma }{\sqrt {h}}\,du^{1}\wedge du^{2}\,,\qquad h=\left|{\begin{array}{cc}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{array}}\right|\,,}$

來計算（其中${\displaystyle h_{ab}}$是度規張量場${\displaystyle \mathbf {g} }$在${\displaystyle \Sigma }$上的誘導度規 ${\displaystyle \mathbf {h} =h_{ab}\,du^{a}\otimes du^{b}}$ 的坐標分量），由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。

在物理學中，向量（極向量）與贗向量（軸向量）兩個概念經常需要加以區分。從根本上說，向量是${\displaystyle E^{3}}$中的元素，所以在空間反演變換下不會改變方向；而贗向量其實是${\displaystyle \Lambda ^{2}(E^{3})}$中的元素，故在空間反演變換下會改變方向。

類似地，藉助於右手的標準正交基，可以把${\displaystyle \Lambda ^{3}(E^{3})}$中的元素${\displaystyle a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}}$映射為「標量"${\displaystyle a\in \mathbb {R} =\Lambda ^{0}(E^{3})}$。但是，在空間反演變換下它就會原形畢露，所以稱它為贗標量。真正的標量在空間反演下是不變的，而贗標量在空間反演下會改變符號。

把 2-向量${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}}$映射為向量${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}$以及把 3-向量${\displaystyle a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}}$映射為一個實數${\displaystyle a}$的映射實際上是一個叫做霍奇對偶的線性映射。

泛性質及構造

令${\displaystyle V}$為一個域${\displaystyle K}$（在多數應用中，也就是實數域）上的向量空間。${\displaystyle \land (V)}$是「最一般」的包含${\displaystyle V}$的並有一個交替乘法在${\displaystyle V}$上由單位的結合${\displaystyle K}$-代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達：

任給一個有單位的結合 ${\displaystyle K}$-代數${\displaystyle A}$和一個${\displaystyle K}$-線性映射${\displaystyle j:V\rightarrow A}$使得${\displaystyle j(v)j(v)=0}$對於每個${\displaystyle v}$屬於${\displaystyle V}$成立，則存在恰好一個由單位的代數同態${\displaystyle f:\land (V)\rightarrow A}$使得${\displaystyle f(v)=j(v)}$所有${\displaystyle v}$屬於${\displaystyle V}$成立。

外代數的泛性質

要構造最一般的包含${\displaystyle V}$的代數，而且其乘法是在${\displaystyle V}$上交替的，很自然可以從包含${\displaystyle V}$的最一般的代數開始，也就是張量代數${\displaystyle T(V)}$，然後通過合適的商來強制交替的性質。這樣我們取${\displaystyle T(V)}$中由所有形為${\displaystyle v\otimes v}$的元素生成的雙邊理想${\displaystyle I}$，其中${\displaystyle v}$屬於${\displaystyle V}$，並定義${\displaystyle \land (V)}$為商

${\displaystyle \land (V)=T(V)/I}$

（並且使用${\displaystyle \land }$為${\displaystyle \land (V)}$中的乘法的代號）。然後可以直接證明${\displaystyle \land (V)}$包含${\displaystyle V}$並且滿足上述泛性質。

如果不是先定義${\displaystyle \land (V)}$然後把外冪${\displaystyle \land ^{k}(V)}$等同為特定的子空間，我們也可以先定義空間${\displaystyle \land ^{k}(V)}$然後把它們合併成為一個代數${\displaystyle \land (V)}$。這個方法在微分集合中常常用到，並在下節中有描述。

反對稱算子和外冪

給定兩個向量空間${\displaystyle V}$和${\displaystyle X}$，一個從${\displaystyle V^{k}}$到${\displaystyle X}$的反對稱算子是一個多線性映射

${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}$

使得只要${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$是${\displaystyle V}$中線性相關的向量，則

${\displaystyle f\left(v_{1},\ldots ,v_{k}\right)=0}$.

最著名的例子是行列式值，從${\displaystyle (K^{n})^{n}}$到${\displaystyle K}$的反對稱線形算子。

映射

${\displaystyle w:V^{k}\rightarrow \land ^{k}(V)}$

它關聯${\displaystyle V}$中的${\displaystyle k}$個向量到他們的楔積，也就是它們相應的${\displaystyle k}$-向量，這也是反對稱的。事實上，這個映射是定義在${\displaystyle V^{k}}$上的「最一般」的反對稱算子：給定任何其它反對稱算子${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}$，存在一個唯一的線性映射${\displaystyle \varphi :\land ^{k}(V)\rightarrow X\mathrm {with} f=\varphi \circ w}$。這個泛性質表述了空間${\displaystyle \land ^{k}(V)}$並且可以作為它的定義。

所有從${\displaystyle V^{k}}$到基域${\displaystyle K}$的反對稱映射組成一個向量空間，因為兩個這樣的映射的和、或者這樣一個映射和一個標量的乘積也是反對稱的。若${\displaystyle V}$是有限維的，維數${\displaystyle n}$，則該空間可以認同為${\displaystyle \land ^{k}(V^{*})}$，其中${\displaystyle V^{*}}$表示${\displaystyle V}$的對偶空間。特別的有，從${\displaystyle V^{k}}$到${\displaystyle K}$的反對稱映射的空間是${\displaystyle n}$取${\displaystyle k}$維的。

在這個等同關係下，若基域是${\displaystyle R}$或者${\displaystyle C}$，楔積有一個具體的形式：它從兩個給定的反對稱映射得到一個新的反對稱映射。設${\displaystyle \omega :V^{k}\rightarrow K}$和${\displaystyle \eta :V^{m}\rightarrow K}$為兩個反對稱映射。和在多線性映射的張量積的情況一樣，楔積的變量數是每個映射的變量數之和。它定義如下：

${\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}{\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )}$

其中多線性映射的交替${\displaystyle \mathrm {Alt} }$定義為其變量的所有排列的帶符號平均：

${\displaystyle {\rm {Alt}}(\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})}$

注意： 有一些書中楔積定義為

${\displaystyle \omega \wedge \eta ={\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )}$

指標記法

在主要由物理學家使用的指標記法中有：

${\displaystyle (\omega \wedge \eta )_{a_{1}\cdots a_{k+m}}={\frac {1}{k!m!}}\epsilon _{a_{1}\cdots a_{k+m}}^{b_{1}\cdots b_{k}c_{1}\cdots c_{m}}\omega _{b_{1}\cdots b_{k}}\eta _{c_{1}\cdots c_{m}}}$

微分形式

令${\displaystyle M}$為一個微分流形。一個微分k-形式${\displaystyle \omega }$是${\displaystyle \land ^{k}T^{*}M}$（${\displaystyle M}$的餘切叢的${\displaystyle k}$階外冪）的一個截面。等價的有：${\displaystyle \omega }$是${\displaystyle M}$的光滑函數，對於${\displaystyle M}$的每個點${\displaystyle x}$給定一個${\displaystyle \land ^{k}\left(T_{x}M\right)^{*}}$的元素。大致來講，微分形式是餘切向量的全局版本。微分形式是微分幾何的重要工具，其中，它們被用於定義德拉姆上同調和亞歷山大-斯潘尼爾上同調。

推廣

給定一個交換環${\displaystyle R}$和一個${\displaystyle R}$-模${\displaystyle M}$，我們可以定義和上文一樣的外代數${\displaystyle \land (M)}$，它是張量代數${\displaystyle T(M)}$適當的商。它會滿足類似的泛性質。

物理應用

格拉斯曼代數在物理中有重要應用，它們被用於建模和費米子和超對稱性相關的各種概念。

參看：超空間，超代數，超群