微分形式

此條目介紹的是數學概念。關於物理方程的「微分形式」與「積分形式」，請見「微分方程」和「積分方程」。

微分形式（英語：Differential form）是多變量微積分，微分拓撲和張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式，及其以楔積和外微分結構形成外代數的想法，都是由法國數學家埃里·嘉當引入的。

例如，一元微積分中的表達式 ${\displaystyle f(x)\ dx}$ 是1-形式的一個例子，並且可以在 ${\displaystyle f}$ 定義域內的一個區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 上進行積分：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

類似地，表達式 ${\displaystyle f(x,y,z)\ dx\land dy+g(x,y,z)\ dz\land dx+h(x,y,z)\ dy\land dz}$ 是2-形式的一種，它在可定向曲面 ${\displaystyle S}$ 上有曲面積分:

${\displaystyle \int _{S}f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz.}$

符號∧表示兩個微分形式的外積，有時候也稱為楔積。類似地，3-形式 ${\displaystyle f(x,y,z)\ dx\land dy\land dz}$ 表示可以在空間的一個區域進行積分的體積元。一般地，${\displaystyle k}$-形式是一個可以在 ${\displaystyle k}$-維集合上進行積分的對象，並且其坐標微分是 ${\displaystyle k}$ 次齊次的。

簡介

我們從Rⁿ中的開集的情形開始。一個0-形式（0-form）定義為一個光滑函數 ${\displaystyle f}$。 當我們在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的 ${\displaystyle m}$-維子空間 ${\displaystyle S}$ 上對函數 ${\displaystyle f}$ 積分時，我們將積分寫作：

${\displaystyle \int _{S}f\,dx_{1}\ldots dx_{m}.}$

把 ${\displaystyle dx_{1},\cdots ,dx_{n}}$ 當作形式化的對象，而非讓積分看起來像個黎曼和的標記。我們把這些和他們的負${\displaystyle -dx_{1},\cdots ,-dx_{n}}$叫做基本1-形式。

我們再在其上定義一種乘法規則楔積，這種乘法只需滿足反交換的條件： 對所有 ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}}$

注意這意味着

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{i}=0}$.

我們把這些乘積的集合叫做基本2-形式，類似的我們定義乘積

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}\wedge dx_{k}}$

的集合為基本'3-形式，這裡假定n至少為3。現在定義一個單項式' ${\displaystyle k}$-形式為一個0-形式乘以一個基本的 ${\displaystyle k}$-形式，定義 ${\displaystyle k}$-形式為一些單項式 ${\displaystyle k}$-形式的和。

楔積可以推廣到這些和上：

${\displaystyle (f\,dx_{I}+g\,dx_{J})\wedge (p\,dx_{K}+q\,dx_{L})=}$

${\displaystyle f\cdot p\,dx_{I}\wedge dx_{K}+f\cdot q\,dx_{I}\wedge dx_{L}+g\cdot p\,dx_{J}\wedge dx_{K}+g\cdot q\,dx_{J}\wedge dx_{L},}$

等等，這裡 ${\displaystyle dx_{i}}$ 和類似的項表示 ${\displaystyle k}$-形式。換句話說，和的積就是所有可能的積的和。

現在，我們來定義光滑流形上的 ${\displaystyle k}$-形式。為此，我們假設有一個開坐標覆蓋。我們可以在每個坐標鄰域上定義一個 ${\displaystyle k}$-形式；一個全局的 ${\displaystyle k}$-形式就是一組坐標領域上的 ${\displaystyle k}$-形式，他們在坐標鄰域的交集上一致。這種一致的精確定義，見流形。

楔積的性質

若 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle w}$ 為任意微分形式，則

${\displaystyle w\wedge (f+g)=w\wedge f+w\wedge g.}$

若 ${\displaystyle f}$ 為 ${\displaystyle k}$-形式，${\displaystyle g}$ 為 ${\displaystyle l}$-形式：

${\displaystyle f\wedge g=(-1)^{kl}g\wedge f.}$

抽象（簡明）定義及討論

在微分幾何中，${\displaystyle k}$ 階微分 ${\displaystyle k}$-形式是一個流形的餘切叢的 ${\displaystyle k}$ 階外冪（exterior power）的光滑截面。在流形的每一點 ${\displaystyle p}$，一個 ${\displaystyle k}$-形式給出一個從切空間的 ${\displaystyle k}$ 階笛卡兒冪（cartesian power）到 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的多線性映射。

例如，光滑函數（0-形式）的微分就是一個1-形式。

1-形式在張量的坐標無關表示中是一個很有用的基本概念。在這個上下文中，他們可以定義為向量的實值函數，並可以看成他們所對應的向量空間的對偶空間。1-形式的一個舊稱就是"協變向量"。

微分形式的積分

k階微分形式可以在 ${\displaystyle k}$維鏈（chain）上積分。若${\displaystyle k=0}$，這就是函數在點上的取值。其他的 ${\displaystyle k=1,2,3,\cdots }$對應於線積分，曲面積分，體積分等等。

設

${\displaystyle \omega =\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}({\mathbf {x} })\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}$

為一微分形式，設 ${\displaystyle S}$ 為一個我們想在其上積分的集合，其中 ${\displaystyle S}$ 有參數化形式

${\displaystyle S({\mathbf {u} })=(x_{1}({\mathbf {u} }),\cdots ,x_{n}({\mathbf {u} }))}$

${\displaystyle \mathbf {u} }$ 屬於參數域 ${\displaystyle D}$。則[Rudin, 1976]定義 ${\displaystyle S}$ 上微分形式的積分為

${\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}(S({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}\,d{\mathbf {u} }}$

其中

${\displaystyle {\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}}$

是雅可比矩陣的行列式。

參見斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

微分形式的操作

一個流形上所有k-形式的集合是一個向量空間。而且，其上有三類操作：楔積, 外微分（用d表示），和李導數。${\displaystyle d^{2}=0}$，細節請見德拉姆上同調。

外導數和積分的基本關係由推廣的斯托克斯定理給出，它也同時給出了德拉姆上同調和鏈的同調的對偶性。

參考

• Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235.
• Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910.