柏拉圖分布

帕累托分布(Pareto distribution)是以意大利經濟學家維爾弗雷多·帕累托命名的。 是從大量真實世界的現象中發現的冪定律分布。這個分布在經濟學以外，也被稱為布拉德福分布。

帕累托分布

機率密度函數
累積分布函數
參數	xm > 0 k > 0
值域	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!}$
機率密度函數	${\displaystyle {\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}\!}$
累積分布函數	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}\!}$
期望值	${\displaystyle {\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}\!}$，${\displaystyle k>1}$
中位數	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}}$
眾數	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }\,}$
變異數	${\displaystyle {\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}\!}$，${\displaystyle k>2}$
偏度	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}\!}$，${\displaystyle k>3}$
峰度	${\displaystyle {\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}\!}$，${\displaystyle k>4}$
熵	${\displaystyle \ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{k}}-1\!}$
動差母函數	未定義
特徵函數	${\displaystyle k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)\,}$

在帕累托分布中，如果X是一個隨機變量， 則X的概率分布如下面的公式所示：

${\displaystyle {\rm {P}}(X>x)=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-k}}$

其中x是任何一個大於x_min的數，x_min是X最小的可能值（正數），k是為正的參數。帕累托分布曲線族是由兩個數量參數化的：x_min和k。分布密度則為

${\displaystyle p(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{if }}x<x_{\min };\\\\{k\;x_{\min }^{k} \over x^{k+1}},&{\mbox{if }}x>x_{\min }.\end{matrix}}\right.}$

帕累托分布屬於連續概率分布。 「齊夫定律」, 也稱為「zeta 分布」, 也可以被認為是在離散概率分布中的帕累托分布。 一個遵守帕累托分布的隨機變量的期望值為 ${\displaystyle x_{\min }\;k \over k-1}$ (如果 ${\displaystyle k\leq 1}$, 期望值為無窮大) 且隨機變量的標準差為 ${\displaystyle {x_{\min } \over k-1}{\sqrt {k \over k-2}}}$ (如果 ${\displaystyle k\leq 2}$, 標準差不存在)。

被認為大致是帕累托分布的例子有：

• 財富在個人之間的分布
• 人類居住區的大小
• 對維基百科條目的訪問
• 接近絕對零度時，玻色–愛因斯坦凝聚的團簇
• 在互聯網流量中文件尺寸的分布
• 油田的石油儲備數量
• 龍捲風帶來的災難的數量

參見

• 帕累托法則
• 帕累托插值

外部連結

• William J. Reed: 帕累托，吉普夫和其他冪次定律 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Guerriero, V. (2025). "Power law distribution and multi-scale analysis in Earth sciences, finance, and other fields: Some guidelines to parameter estimation". Chaos (AIP) 35, 063102. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）