總曲率

在數學中的曲線微分幾何的研究中，一個浸入在平面上的曲線的總曲率是曲率的曲線積分：

${\displaystyle \int _{a}^{b}k(s)\,ds.}$

總曲率為 6π的曲線，曲線的指數/轉數為 3，關於 p 點有繞數 2。

閉曲線的總曲率是 2π 的整數倍，該整數稱為曲線的指數或轉數。其中轉數是單位切向量關於起點的繞數，或者等價的高斯映射的次數。 局部不變量曲率和整體拓撲不變量指數的關係是高維黎曼幾何的代表性結果，如高斯－博內定理。

不變量

根據惠特尼－格勞斯坦定理，總曲率在曲線的正則同倫下不變：總曲率是高斯映射的次數。然而，它不是同倫下的不變：經歷一個扭結將會更改轉折點的數目。

相反，關於曲線外一點的繞數在同倫下不變。對於曲線上的點繞數將改變1。

參考資料

• Kuhnel, Wolfgang, Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds 2nd, American Mathematical Society, 2005, ISBN 978-0821839881 (translated by Bruce Hunt)
• Milnor, John W., On the Total Curvature of Knots, The Annals of Mathematics, Second Series, 1950, 52 (2): 248–257 [2010-04-13], doi:10.2307/1969467, （原始內容存檔於2020-02-25）
• Sullivan, John M., Curves of finite total curvature, 2007, arXiv:math/0606007.