拉普拉斯-德拉姆算子

在微分流形的外代數上定義一個拉普拉斯微分算子，在黎曼流形上是一個橢圓型算子，而在洛倫茲流形上為雙曲型。拉普拉斯–德拉姆算子（Laplace-de Rham operator）定義為

${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;}$

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d 為外導數，而 δ 為余微分。當作用在數量函數上，余微分可以定義為 δ = −${\displaystyle *}$d${\displaystyle *}$，${\displaystyle *}$ 為霍奇星算子；一般情況下，余微分可能包含與所作用的 k-形式的階數有關的一個符號。

可證明拉普拉斯–德拉姆算子作用在數量函數 f 上時與前面的拉普拉斯–貝爾特拉米算子定義相同；細節參見證明。注意拉普拉斯–德拉姆算子事實上是負拉普拉斯–貝爾特拉米算子；這個符號來自定義余微分的習慣。兩者都用 Δ 表示，常導致難以辨別。

性質

給定數量函數 f 與 h，以及一個實數 a，拉普拉斯–德拉姆算子具有的性質為：

1. ${\displaystyle \Delta (af+h)=a\,\Delta f+\Delta h\!}$
2. ${\displaystyle \Delta (fh)=f\,\Delta h+2(\partial _{i}f)(\partial ^{i}h)+h\,\Delta f}$    （證明）