收斂矩陣

線性代數中，收斂矩陣是在求冪過程中收斂到零矩陣的矩陣。

背景

矩陣T的冪隨次數增加而變小時（即T的所有項都趨近於0），T收斂到零矩陣。可逆矩陣A的正則分裂會產生收斂矩陣T。A的半收斂分裂會產生半收斂矩陣T。將T用於一般的迭代法，則對任意初向量都是收斂的；半收斂的T則要初向量滿足特定條件才收斂。

定義

n階方陣T若滿足

${\displaystyle \forall i=1,\ 2,\ \dots ,\ n,\ j=1,\ 2,\ \dots ,\ n,\ \lim _{k\to \infty }(\mathbf {T} ^{k})_{ij}=0,}$

1

則稱T是是收斂矩陣。^[1][2][3]

例子

令

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

T的冪是

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]0&{\frac {1}{16}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{64}}&{\frac {3}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{64}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{4}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{256}}&{\frac {1}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{256}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{5}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{1024}}&{\frac {5}{512}}\\[4pt]0&{\frac {1}{1024}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4096}}&{\frac {3}{1024}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4096}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

綜之，

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

由於

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}=0}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{2k-1}}}=0,}$

T是收斂矩陣。注意其譜半徑${\displaystyle \rho (\mathbf {T} )={\frac {1}{4}}}$，因為${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$是T唯一的特徵值。

特徵

設T是n階方陣，則下列表述等價於T的收斂矩陣：

1. 對某自然範數，${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0}$
2. 對所有自然範數，${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0}$
3. ${\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1}$
4. ${\displaystyle \forall \mathbb {x} ,\ \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}\mathbf {x} =\mathbf {0} }$^[1][4][5][3]

迭代法

主條目：迭代法

一般的迭代法包含將線性方程組

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$

2

轉為等價方程組

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {Tx} +\mathbf {c} }$

3

的過程。選定初向量${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}$，近似解向量序列的生成由

${\displaystyle \forall k\geq 0,\ \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {Tx} ^{(k)}+\mathbf {c} }$

4

^[6][7]

對任意初向量${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}\in \mathbb {R} ^{n}}$，序列${\displaystyle \lbrace \mathbf {x} ^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty }}$由(4)定義，${\displaystyle \forall k\geq 0,\ \mathbf {c} \neq 0}$，當且僅當${\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1}$收斂於(3)的唯一解，即T是收斂矩陣。^[8][9]

正則分裂

主條目：矩陣分裂

矩陣分裂是用多個矩陣的和或差表示矩陣。對(2)所示的線性方程組，若A可逆，則A就可分裂為

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C} }$

5

於是(2)可重寫為(4)。當且僅當${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\geq \mathbf {0} ,\ \mathbf {C} \geq \mathbf {0} }$時，(5)式是A的正則分裂；即${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1},\ \mathbf {C} }$只有非負元素。若分裂(5)是A的正則分裂、且${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\geq \mathbf {0} }$，則${\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1}$，T是收斂矩陣，迭代法(4)收斂。^[10][11]

半收斂矩陣

n階方陣T，若極限

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}}$

6

存在，則稱之為半收斂矩陣。^[12]若A可能奇異，而(2)齊次，即b在A的範圍內，則當且僅當T是半收斂矩陣時，對任何初向量${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}\in \mathbb {R} ^{n}}$，(4)定義的序列收斂到(2)的解。這時，分裂(5)稱作A的半收斂分裂。^[13]

另見

• 高斯-賽德爾迭代
• 雅可比法
• 矩陣列表
• 冪零矩陣
• 逐次超鬆弛迭代法