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矩陣分裂
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數值線性代數中,矩陣分裂(matrix splitting)是一種將給定矩陣表為多個矩陣和或差的表示。很多迭代法(如解微分方程組的)都依賴於直接求解比三對角矩陣更一般的矩陣的方程,若將其分裂,通常可以更高效地求解。這項技術由Richard S. Varga(1960)發明。[1]
正則分裂
解矩陣方程
B、C都是n階方陣。對元素非負的任意n階方陣M,可以記作。若M元素均為正數,可以記作。相似地,若的元素非負,可以記作。
定義: 若,則是A的一個正則分裂(regular splitting)。
假設矩陣方程形式為
其中g是給定列向量,可直接求解x。若(2)表示A的正則分裂,則迭代法
其中是任意向量。(4)可等價地改寫為
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矩陣迭代法
很多迭代法都可描述為矩陣分裂。若A的對角項都是非零的,且A表為矩陣和
其中D是A的主對角線元素構成的對角矩陣,U、L分別是n階嚴格上、下三角矩陣,則有:
雅可比法可表為
[5][6] |
高斯-賽德爾迭代可表為
[7][6] |
逐次超鬆弛迭代法可表為
[8][6] |
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例子
方程(1)中,令
應用雅可比中的分裂(7):將A分裂,使B包含A的所有對角元素,C包含A的所有對角線外元素並取負(當然這不是將矩陣分裂為兩矩陣的唯一有效方法),則有
由於,分裂(11)是正則分裂。由於,譜半徑(D的近似特徵值是)。因此D收斂,迭代法(5)對(10)收斂。注意A的對角元均大於零,非對角元均小於零,且A是強對角占優矩陣。[9]
(12)的精確解為
以為初向量,列出(12)的前幾次迭代。可見此方法明顯收斂到解(13),不過速度相當緩慢。
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由於(10)中矩陣A的對角項均非零,可以用分裂(6)表示A,其中
則有
以為初向量,列出(15)的前幾次迭代。可見方法明顯收斂到解(13),且比雅可比法快。
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置。由分裂(14),有
以為初向量,列出(16)的前幾次迭代。可見SOR法收斂到解(13),比GS法略快。
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另見
- 矩陣分解
- M-矩陣
- 斯蒂爾傑斯矩陣
注釋
參考文獻
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