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矩陣分裂

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數值線性代數中,矩陣分裂matrix splitting)是一種將給定矩陣表為多個矩陣和或差的表示。很多迭代法(如解微分方程組的)都依賴於直接求解比三對角矩陣更一般的矩陣的方程,若將其分裂,通常可以更高效地求解。這項技術由Richard S. Varga(1960)發明。[1]

正則分裂

解矩陣方程

1

其中A是給定n非奇異方陣k是給定n列向量A可分裂為

2

BC都是n階方陣。對元素非負的任意n階方陣M,可以記作。若M元素均為正數,可以記作。相似地,若的元素非負,可以記作

定義: 若,則A的一個正則分裂regular splitting)。

假設矩陣方程形式為

3

其中g是給定列向量,可直接求解x。若(2)表示A的正則分裂,則迭代法

4

其中是任意向量。(4)可等價地改寫為

5

若(2)表示A的正則分裂,則矩陣的元素非負。[2]

可以證明,若,則,其中表示D譜半徑,因此D收斂矩陣。於是,迭代法(5)必然收斂。[3][4]

此外,若選擇分裂(2),使B對角矩陣(由於B可逆,所以對角項全部不為零),則B可在線性時間內求得逆(見時間複雜度)。

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矩陣迭代法

很多迭代法都可描述為矩陣分裂。若A的對角項都是非零的,且A表為矩陣和

6

其中DA的主對角線元素構成的對角矩陣,UL分別是n階嚴格上、下三角矩陣,則有:

雅可比法可表為

[5][6] 7

高斯-賽德爾迭代可表為

[7][6] 8

逐次超鬆弛迭代法可表為

[8][6] 9
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例子

正則分裂

方程(1)中,令

10

應用雅可比中的分裂(7):將A分裂,使B包含A的所有對角元素,C包含A的所有對角線外元素並取負(當然這不是將矩陣分裂為兩矩陣的唯一有效方法),則有

11

由於,分裂(11)是正則分裂。由於,譜半徑D的近似特徵值)。因此D收斂,迭代法(5)對(10)收斂。注意A的對角元均大於零,非對角元均小於零,且A是強對角占優矩陣[9]

迭代法(5)應用於(10),形式為

12

(12)的精確解為

13

為初向量,列出(12)的前幾次迭代。可見此方法明顯收斂到解(13),不過速度相當緩慢。

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雅可比法

雅可比法(7)與上面演示的正則分裂(11)相同。

高斯-賽德爾法

由於(10)中矩陣A的對角項均非零,可以用分裂(6)表示A,其中

14

則有

將高斯-賽德爾法(8)應用於(10)有如下格式

15

為初向量,列出(15)的前幾次迭代。可見方法明顯收斂到解(13),且比雅可比法快。

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逐次超鬆弛迭代法

。由分裂(14),有

將SOR法(9)應用於(10),則有

16

為初向量,列出(16)的前幾次迭代。可見SOR法收斂到解(13),比GS法略快。

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另見

注釋

參考文獻

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