有限應變理論

有限應變理論（finite strain theory）也稱為大應變理論或大形變理論，是連續介質力學中處理有較大應變或轉動的形變，已不符合無限小應變理論假設下的理論。此情形下，物體在未形變的組態及已形變的組態有明顯的不同。有限應變理論常用於彈性體、塑性變形材料、流體及生物軟組織。

位移場

這個部分摘自：位移場 § 位移分量[編輯]

連續體的運動

物體的位移可以分為二個分量：剛體位移以及形變。

• 剛體位移包括物體的平移或旋轉，物體的形狀、大小都維持不變。
• 形變表示物體形狀或大小的變化，從未形變的組態${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$變成形變後的組態${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$。

連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場，可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變，若且唯若物體出現形變。若物體有位移，但沒有形變，即為剛體運動。

位移梯度張量

連續體的形變

位移梯度張量（deformation gradient tensor）${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$和形變前的組態以及目前的組態有關，可以從單位向量${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$和${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$中看出，因此其為二點張量（英語：two-point tensor）。

可以定義二種位移梯度張量。

假設${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$有連續性，則${\displaystyle \mathbf {F} }$存在逆元素${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$，其中${\displaystyle \mathbf {H} }$為空間位移梯度張量（spatial deformation gradient tensor）。 根據隱函數定理^[1]，其雅可比判別式${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)}$是非奇點，也就是${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$。

物質位移梯度張量（material deformation gradient tensor）${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$表示映射函數或是泛函關係${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$梯度的二維張量（ 映射函數或是泛函關係${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$描述連續介質的運動）。材料位移梯度張量可以說明位置向量為${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$的物質點的局部形變（也就是相對鄰近點的形變），其作法是對一個點的物質線元素進行線性映射，從原始組態映射到形變後的組態，其中也是假設映射函數${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$的連續性，也就是其為${\displaystyle \mathbf {X} }$和時間${\displaystyle t\,\!}$的可微函數，也就是其形變不會讓crack或是void打開或是關閉。因此可得 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

相關條目

• 無限小應變理論
• 應變協調性
• 曲線坐標（英語：Curvilinear coordinates）
• 應力量測（英語：Stress measures）
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