極值定理

在微積分中，極值定理（或最值定理^[1]:84）說明如果實函數${\displaystyle f}$在閉區間${\displaystyle [a,b]}$上是連續函數，則它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是說，存在${\displaystyle [a,b]}$內的${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$，使得：

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)}$對於所有${\displaystyle x\in [a,b]}$。

閉區間${\displaystyle [a,b]}$上的連續函數${\displaystyle f(x)}$，其最大值為紅色點，最小值為藍色點。

一個相關的定理是有界性定理，它說明閉區間${\displaystyle [a,b]}$內的連續函數${\displaystyle f}$在該區間上有界。也就是說，存在實數${\displaystyle m}$和${\displaystyle M}$，使得：

${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$對於所有${\displaystyle x\in [a,b]}$。

極值定理強化了有界性定理，它表明函數不僅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

定理的證明

我們來證明${\displaystyle f}$的上界和存在最大值。把這個結果應用於函數${\displaystyle -f}$，也可推出${\displaystyle f}$的下界和存在最小值。

我們首先證明有界性定理，它是證明極值定理中的一個步驟。

有界性定理的證明

假設函數${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$內連續且沒有上界，那麼對於每一個自然數${\displaystyle n}$，都存在${\displaystyle [a,b]}$內的一個${\displaystyle x_{n}}$，使得${\displaystyle f(x_{n})>n}$（任定的，總之條件為真即可）。這便定義了一個序列${\displaystyle \{x_{n}\}}$。

由於${\displaystyle [a,b]}$是有界的，根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，可推出存在${\displaystyle \{x_{n}\}}$的一個收斂的子序列${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$。把它的極限記為${\displaystyle x}$。由於${\displaystyle [a,b]}$是閉區間，它一定含有${\displaystyle x}$。因為${\displaystyle f}$在${\displaystyle x}$處連續，我們知道${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}$收斂於實數${\displaystyle f(x)}$。

但對於所有的${\displaystyle k}$，都有${\displaystyle f(x_{n_{k}})>n_{k}\geq k}$，這意味着${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}$發散於無窮大。

前者描述為收斂，後者描述為無窮大，得出矛盾。因此，${\displaystyle f}$在${\displaystyle [a,b]}$內有上界。同理${\displaystyle f}$在${\displaystyle [a,b]}$內有下界。證畢。

極值定理的證明1

基本步驟為：

1. 尋找一個序列，它的像收斂於${\displaystyle f}$的最小上界。
2. 證明存在一個子序列，它收斂於定義域內的一個點。
3. 用連續性來證明子序列的像收斂於最小上界。

我們現在證明函數${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$內有最大值。根據有界性定理，${\displaystyle f}$有上界，因此，根據實數的戴德金完備性，${\displaystyle f}$的最小上界${\displaystyle M}$存在。我們需要尋找${\displaystyle [a,b]}$內的一個${\displaystyle d}$，使得${\displaystyle M=f(d)}$。設${\displaystyle n}$為一個自然數。由於${\displaystyle M}$是最小上界，${\displaystyle M-{\frac {1}{n}}}$就不是${\displaystyle f}$的上界。因此，存在${\displaystyle [a,b]}$內的${\displaystyle d_{n}}$，使得${\displaystyle M-{\frac {1}{n}}<f(d_{n})}$。這便定義了一個序列${\displaystyle \{d_{n}\}}$。由於${\displaystyle M}$是${\displaystyle f}$的一個上界，即便是對於所有的${\displaystyle n}$，我們仍有${\displaystyle M-{\frac {1}{n}}<f(d_{n})\leq M}$。因此，序列${\displaystyle \{f(d_{n})\}}$收斂於M。

根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，可知存在一個子序列${\displaystyle \{d_{n_{k}}\}}$，它收斂於某個${\displaystyle d}$，且由於${\displaystyle [a,b]}$是閉區間，${\displaystyle d\in [a,b]}$。因為${\displaystyle f}$在${\displaystyle d}$處連續，所以序列${\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}}$收斂於${\displaystyle f(d)}$。但${\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}}$是${\displaystyle \{f(d_{n})\}}$的一個子序列，收斂於${\displaystyle M}$，因此${\displaystyle M=f(d)}$。所以，${\displaystyle f}$在${\displaystyle d}$處取得最小上界${\displaystyle M}$。證畢。

極值定理的證明2

^[2] 設${\displaystyle M}$是${\displaystyle f}$在區間${\displaystyle [a,b]}$上的最小上界，我們要證明存在${\displaystyle d\in [a,b]}$使得${\displaystyle f(d)=M}$。我們使用反證法：如若不然，對任意 ${\displaystyle x\in [a,b]}$，${\displaystyle f(x)\neq M}$，所以，對任意的${\displaystyle x\in [a,b]}$，${\displaystyle f(x)<M}$。我們考慮正值的函數

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}.}$

因為分母不是零，這個函數是良定義的，並且是連續的。然而，由於${\displaystyle M}$是${\displaystyle f(x)}$的最小上界，所以存在 ${\displaystyle x\in [a,b]}$，使得${\displaystyle f(x)}$可以無限地接近${\displaystyle M}$，從而${\displaystyle g(x)}$是無界的。這和有界性定理矛盾。證畢。

注: 上面構造函數${\displaystyle g(x)}$來證明最大值能在某個${\displaystyle d}$取到的方法也在代數基本定理的基於Liouville定理的證明中出現。

例子

以下的例子說明了為什麼函數的定義域需要是閉的和有界的。

1. 定義在${\displaystyle [0,\infty )}$的函數${\displaystyle f(x)=x}$沒有上界。
2. 定義在${\displaystyle [0,\infty )}$的函數${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}}$有界，但不取得最小上界1。
3. 定義在${\displaystyle (0,1]}$的函數${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$沒有上界。
4. 定義在${\displaystyle (0,1]}$的函數${\displaystyle f(x)=1-x}$有界，但不取得最小上界1。

推廣到半連續函數

如果把${\displaystyle f}$的連續性減弱為半連續，則有界性定理和極值定理的對應的一半仍然成立，且擴展的實數軸上的值${\displaystyle -\infty }$和${\displaystyle +\infty }$也可以允許為可能的值。更加精確地：

定理：如果函數${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow [-\infty ,\infty )}$是上半連續的，也就是說，對於${\displaystyle [a,b]}$內的所有${\displaystyle x}$，都有：

${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$，

那麼${\displaystyle f}$有上界，且取得最小上界。

證明：如果對於${\displaystyle [a,b]}$內的所有${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)=-\infty }$，那麼最小上界也是${\displaystyle -\infty }$，於是定理成立。在任何其它情況下，只需把上面的證明稍加修改便可。在有界性定理的證明中，${\displaystyle f}$在${\displaystyle x}$處的半連續性只意味着子序列${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}$的上極限有上界${\displaystyle f(x)<\infty }$，但這已足以得到矛盾。在極值定理的證明中，${\displaystyle f}$在${\displaystyle d}$處的半連續性意味着子序列${\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}}$的上極限有上界${\displaystyle f(d)}$，但這已足以推出${\displaystyle f(d)=M}$的結論。證畢。

把這個結果應用於${\displaystyle -f}$，可得：

定理：如果函數${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow (-\infty ,\infty ]}$是下半連續的，也就是說，對於${\displaystyle [a,b]}$內的所有${\displaystyle x}$，都有：

${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$

那麼${\displaystyle f}$有下界，且取得最大下界。

一個實函數是上半連續且下半連續的，當且僅當它是連續的。因此，從這兩個定理就可以推出有界性定理和極值定理。