溫尼爾多面體模型列表

這裡列出所有由馬格努斯·J·溫尼爾（英語：Magnus J. Wenninger）分類的所有多面體及星形多面體模型。

柏拉圖立體（正圖形）W1到W5

索引	名稱	圖像	對偶名稱	對偶圖像	威佐夫記號（英語：Wythoff symbol）	頂點布局（英語：Vertex configuration） 施萊夫利符號	對稱群	U#	K#	V	E	F	面的類別
1	正四面體		正四面體		3|2 3	{3,3}	Td	U01	K06	4	6	4	4{3}
2	正八面體		立方體		4|2 3	{3,4}	Oh	U05	K10	6	12	8	8{3}
3	立方體（正六面體）		正八面體		3|2 4	{4,3}	Oh	U06	K11	8	12	6	6{4}
4	正二十面體		正十二面體		5|2 3	{3,5}	Ih	U22	K27	12	30	20	20{3}
5	正十二面體		正二十面體		3|2 5	{5,3}	Ih	U23	K28	20	30	12	12{5}

阿基米德立體（半正多面體）W6到W18

索引	名稱	圖像	對偶名稱	對偶圖像	威佐夫記號（英語：Wythoff symbol）	頂點布局（英語：Vertex configuration） 頂點圖	對稱群	U#	K#	V	E	F	面的類別
6	截角四面體		三角化四面體		2 3|3	3.6.6	Td	U02	K07	12	18	8	4{3} + 4{6}
7	截角八面體		四角化立方體		2 4|3	4.6.6	Oh	U08	K13	24	36	24	6{4} + 8{6}
8	截角立方體		三角化八面體		2 3|4	3.8.8	Oh	U09	K14	24	36	14	8{3} + 6{8}
9	截角二十面體		五角化十二面體		2 5|3	5.6.6	Ih	U25	K30	60	90	32	12{5} + 20{6}
10	截角十二面體		三角化二十面體		2 3|5	3.10.10	Ih	U26	K31	60	90	32	20{3} + 12{10}
11	截半立方體		菱形十二面體		2|3 4	3.4.3.4	Oh	U07	K12	12	24	14	8{3} + 6{4}
12	截半二十面體		菱形三十面體		2|3 5	3.5.3.5	Ih	U24	K29	30	60	32	20{3} + 12{5}
13	小斜方截半立方體		鳶形二十四面體		3 4|2	3.4.4.4	Oh	U10	K15	24	48	26	8{3}+（6+12）{4}
14	小斜方截半二十面體		鳶形六十面體		3 5|2	3.4.5.4	Ih	U27	K32	60	120	62	20{3} + 30{4} + 12{5}
15	大斜方截半立方體 （截角截半立方體）		四角化菱形十二面體		2 3 4|	4.6.8	Oh	U11	K16	48	72	26	12{4} + 8{6} + 6{8}
16	大斜方截半二十面體 （截角截半二十面體）		四角化菱形三十面體		2 3 5|	4.6.10	Ih	U28	K33	120	180	62	30{4} + 20{6} + 12{10}
17	扭棱立方體		五角二十四面體		|2 3 4	3.3.3.3.4	O	U12	K17	24	60	38	（8 + 24）{3} + 6{4}
18	扭棱十二面體		五角六十面體		|2 3 5	3.3.3.3.5	I	U29	K34	60	150	92	（20 + 60）{3} + 12{5}

星形正多面體W20、W21、W22和W41

索引	名稱	圖像	對偶名稱	對偶圖像	威佐夫記號（英語：Wythoff symbol）	頂點布局（英語：Vertex configuration） 施萊夫利符號	對稱群	U#	K#	V	E	F	面的類別
20	小星形十二面體		大十二面體		5|25/2	{5/2,5}	Ih	U34	K39	12	30	12	12{5/2}
21	大十二面體		小星形十二面體		5/2|2 5	{5,5/2}	Ih	U35	K40	12	30	12	12{5}
22	大星形十二面體		大二十面體		3|25/2	{5/2,3}	Ih	U52	K57	20	30	12	12{5/2}
41	大二十面體		大星形十二面體		5/2|2 3	{3,5/2}	Ih	U53	K58	12	30	20	20{3}

星形：W19到W66

與八面體相關的星形

索引	名稱	對稱群	圖像	星狀圖
2	正八面體	Oh
19	星形八面體 （二複合正四面體）	Oh

與十二面體相關的星形

索引	名稱	對稱群	圖像	星狀圖
5	正十二面體（正圖形）	Ih
20	小星形十二面體（正圖形） （第一種星形十二面體）	Ih
21	大十二面體（正圖形） （第二種星形十二面體）	Ih
22	大星形十二面體（正圖形） （第三種星形十二面體）	Ih

與二十面體相關的星形

索引	名稱	對稱群	圖像	星狀圖
4	正二十面體（正圖形）	Ih
23	五複合正八面體 （第一種複合星形二十面體）	Ih
24	五複合正四面體 （第二種複合星形二十面體）	I
25	十複合正四面體 （第三種複合星形二十面體）	Ih
26	小三角六邊形二十面體 （第一星形二十面體） （星形三角化二十面體）	Ih
27	第二星形二十面體	Ih
28	凹五角錐十二面體 （第三星形二十面體）	Ih
29	第四星形二十面體	Ih
30	第五星形二十面體	Ih
31	第六星形二十面體	Ih
32	第七星形二十面體（維基數據：Q108366673）	Ih
33	第八星形二十面體	Ih
34	第九星形二十面體 大三角六邊形二十面體	Ih
35	第十星形二十面體（維基數據：Q108383813）	I
36	第十一星形二十面體（：The_Fifty-Nine_Icosahedra#Table_of_the_fifty-nine_icosahedra）	I
37	第十二星形二十面體（：The_Fifty-Nine_Icosahedra#Table_of_the_fifty-nine_icosahedra）	Ih
38	第十三星形二十面體（：The_Fifty-Nine_Icosahedra#Table_of_the_fifty-nine_icosahedra）	I
39	第十四星形二十面體	I
40	第十五星形二十面體（：The_Fifty-Nine_Icosahedra#Table_of_the_fifty-nine_icosahedra）	I
41	大二十面體（正圖形） （第十六星形二十面體）	Ih
42	完全星形二十面體	Ih

星形截半立方體

索引	名稱	對稱群	圖像	八面體星狀圖	立方體星狀圖
11	截半立方體 (原像)	Oh
43	複合八面體立方體 (第一種星形截半立方體)	Oh
44	第二種星形截半立方體	Oh
45	第三種星形截半立方體	Oh
46	第四種星形截半立方體	Oh

星形截半二十面體

索引	名稱	對稱群	圖像	星狀圖 (二十面體面)	星狀圖 (十二面體面)
12	截半二十面體 (正)	Ih
47	(第一種星形截半二十面體) 複合十二面體二十面體	Ih
48	第二種星形截半二十面體	Ih
49	第三種星形截半二十面體	Ih
50	第四種星形截半二十面體 (複合小星形十二 面體三角化二十面體)	Ih
51	第五種星形截半二十面體 (五複合正八面體小 星形十二面體)	Ih
52	第六種星形截半二十面體	Ih
53	第七種星形截半二十面體	Ih
54	第八種星形截半二十面體 (五複合正八面 體小大十二面體)	I
55	第九種星形截半二十面體	Ih
56	第十種星形截半二十面體	Ih
57	第十一種星形截半二十面體	Ih
58	第十二種星形截半二十面體	Ih
59	第十三種星形截半二十面體	Ih
60	第十四種星形截半二十面體	Ih
61	複合大二十面體大星形十二面體（英語：Compound of great icosahedron and great stellated dodecahedron）	Ih
62	第十五種星形截半二十面體	Ih
63	第十六種星形截半二十面體	Ih
64	第十七種星形截半二十面體	Ih
65	第十八種星形截半二十面體	Ih
66	第十九種星形截半二十面體	Ih

均勻非凸多面體W67到W119

編號	名稱	圖像	對偶	對偶圖像	威佐夫記號（英語：Wythoff symbol）	頂點圖	對稱群	U#	K#	V	E	F	面的種類
67	四面半六面體		四面半無窮星形六面體		3/23|2	4.3/2.4.3	Td	U04	K09	6	12	7	4{3}+3{4}
68	八面半八面體		八面半無窮星形八面體		3/23|3	6.3/2.6.3	Oh	U03	K08	12	24	12	8{3}+4{6}
69	小立方立方八面體		小六角星化二十四面體（英語：Small hexacronic icositetrahedron）		3/24|4	8.3/2.8.4	Oh	U13	K18	24	48	20	8{3}+6{4}+6{8}
70	小雙三斜三十二面體		小三角六邊形二十面體		3|5/23	(5/2.3)3	Ih	U30	K35	20	60	32	20{3}+12{5/2}
71	小二十面化截半二十面體		小二十角星化六十面體（英語：Small icosacronic hexecontahedron）		5/23|3	6.5/2.6.3	Ih	U31	K36	60	120	52	20{3}+12{5/2}+20{6}
72	小十二面截半二十面體		小十二角星化六十面體（英語：Small dodecacronic hexecontahedron）		3/25|5	10.3/2.10.5	Ih	U33	K38	60	120	44	20{3}+12{5}+12{10}
73	截半大十二面體		內側菱形三十面體		2|5/25	(5/2.5)2	Ih	U36	K41	30	60	24	12{5}+12{5/2}
74	小斜方十二面體		小星形菱形十二面體（英語：Small rhombidodecacron）		25/25|	10.4.10/9.4/3	Ih	U39	K44	60	120	42	30{4}+12{10}
75	截角大十二面體		小星形五角化十二面體		25/2|5	10.10.5/2	Ih	U37	K42	60	90	24	12{5/2}+12{10}
76	斜方截半大十二面體		中凧形六十面體（英語：Medial deltoidal hexecontahedron）		5/25|2	4.5/2.4.5	Ih	U38	K43	60	120	54	30{4}+12{5}+12{5/2}
77	大立方截半立方體		大六角星化二十四面體		3 4|4/3	8/3.3.8/3.4	Oh	U14	K19	24	48	20	8{3}+6{4}+6{8/3}
78	立方半八面體		立方半無窮星形八面體		4/34|3	6.4/3.6.4	Oh	U15	K20	12	24	10	6{4}+4{6}
79	立方截角立方八面體		四重二方六面體（英語：Tetradyakis hexahedron）		4/33 4|	8/3.6.8	Oh	U16	K21	48	72	20	8{6}+6{8}+6{8/3}
80	雙三斜十二面體		內側三角六邊形二十面體		3|5/35	(5/3.5)3	Ih	U41	K46	20	60	24	12{5}+12{5/2
81	大雙三角十二面截半二十面體		大雙三角十二角星化六十面體（英語：Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron）		3 5|5/3	10/3.3.10/3.5	Ih	U42	K47	60	120	44	20{3}+12{5}+12{10/3}
82	小雙三角十二面截半二十面體		小雙三角十二角星化六十面體（英語：Small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron）		5/33|5	10.5/3.10.3	Ih	U43	K48	60	120	44	20{3}+12{5/2}+12{10}
83	二十面化截半大十二面體		內側二十角星化六十面體（英語：Medial icosacronic hexecontahedron）		5/35|3	6.5/3.6.5	Ih	U44	K49	60	120	44	12{5}+12{5/2}+20{6}
84	二十面截角十二面十二面體		三重二方二十面體（英語：Tridyakis icosahedron）		5/33 5|	10/3.6.10	Ih	U45	K50	120	180	44	20{6}+12{10}+12{10/3}
85	非凸大斜方截半立方體		大凧形二十四面體（英語：Great deltoidal icositetrahedron）		3/24|2	4.3/2.4.4	Oh	U17	K22	24	48	26	8{3}+(6+12){4}
86	小斜方立方體		小反平行四邊形二十四面體		3/22 4|	4.8.4/3.8	Oh	U18	K23	24	48	18	12{4}+6{8}
87	大雙三斜三十二面體		大三角六邊形二十面體		3/2|3 5	(5.3.5.3.5.3)/2	Ih	U47	K52	20	60	32	20{3}+12{5}
88	大二十面化截半二十面體		大二十角星化六十面體（英語：Great icosacronic hexecontahedron）		3/25|3	6.3/2.6.5	Ih	U48	K53	60	120	52	20{3}+12{5}+20{6}
89	小二十面半十二面體		小二十面半無窮星形十二面體（英語：Small icosihemidodecacron）		3/23|5	10.3/2.10.3	Ih	U49	K54	30	60	26	20{3}+6{10}
90	小十二面二十面體		小十二面二十面六十面體（英語：Small dodecicosacron）		3/23 5|	10.6.10/9.6/5	Ih	U50	K55	60	120	32	20{6}+12{10}
91	小十二面半十二面體		小十二面半無窮星形十二面體（英語：Small dodecahemidodecacron）		5/45|5	10.5/4.10.5	Ih	U51	K56	30	60	18	12{5}+6{10}
92	星形截角立方體		大三角化八面體		2 3|4/3	8/3.8/3.3	Oh	U19	K24	24	36	14	8{3}+6{8/3}
93	星形截角截半立方體		大六角化八面體（英語：Great disdyakis dodecahedron）		4/32 3|	8/3.4.6	Oh	U20	K25	48	72	26	12{4}+8{6}+6{8/3}
94	大截半二十面體		大菱形三十面體		2|5/23	(5/2.3)2	Ih	U54	K59	30	60	32	20{3}+12{5/2}
95	截角大二十面體		大星形五角化十二面體		25/2|3	6.6.5/2	Ih	U55	K60	60	90	32	12{5/2}+20{6}
96	斜方二十面體		斜方星形二十面體		25/23|	6.4.6/5.4/3	Ih	U56	K61	60	120	50	30{4}+20{6}
97	小星形截角十二面體		大五方十二面體（英語：Great pentakis dodecahedron）		2 5|5/3	10/3.10/3.5	Ih	U58	K63	60	90	24	12{5}+12{10/3}
98	截角截半大十二面體		內側雙二方三十面體（英語：Medial disdyakis triacontahedron）		5/32 5|	10/3.4.10	Ih	U59	K64	120	180	54	30{4}+12{10}+12{10/3}
99	大十二面截半二十面體		大十二角星化六十面體（英語：Great dodecacronic hexecontahedron）		5/23|5/3	10/3.5/2.10/3.3	Ih	U61	K66	60	120	44	20{3}+12{5/2}+12{10/3 }
100	小十二面半二十面體		小十二面半無窮星形二十面體（英語：Small dodecahemicosacron）		5/35/2|3	6.5/3.6.5/2	Ih	U62	K67	30	60	22	12{5/2}+10{6}
101	大十二面二十面體		大十二面二十面六十面體		5/35/23|	6.10/3.6/5.10/7	Ih	U63	K68	60	120	32	20{6}+12{10/3}
102	大十二面半二十面體		大十二面半無窮星形二十面體（英語：Great dodecahemicosacron）		5/45|3	6.5/4.6.5	Ih	U65	K70	30	60	22	12{5}+10{6}
103	大斜方立方體		反平行四邊形二十四面體		4/33/22|	4.8/3.4/3.8/5	Oh	U21	K26	24	48	18	12{4}+6{8/3}
104	大星形截角十二面體		大三角化二十面體（英語：Great_triakis_icosahedron）		2 3|5/3	10/3.10/3.3	Ih	U66	K71	60	90	32	20{3}+12{10/3}
105	非凸大斜方截半二十面體		大凧形六十面體（英語：Great deltoidal hexecontahedron）		5/33|2	4.5/3.4.3	Ih	U67	K72	60	120	62	20{3}+30{4}+12{5/2}
106	大二十面半十二面體		大二十面半無窮星形十二面體（英語：Great icosihemidodecacron）		3 3|5/3	10/3.3/2.10/3.3	Ih	U71	K76	30	60	26	20{3}+6{10/3}
107	大十二面半十二面體		大十二面半無窮星形十二面體（英語：Great dodecahemidodecacron）		5/35/2|5/3	10/3.5/3.10/3.5/2	Ih	U70	K75	30	60	18	12{5/2}+6{10/3}
108	大截角截半二十面體 （星形截角截半二十面體）		大四角化菱形三十面體（維基數據：Q18048490）		5/32 3|	10/3.4.6	Ih	U68	K73	120	180	62	30{4}+20{6}+12{10/3}
109	大斜方十二面體		大菱形十二面六十面體（英語：Great rhombidodecacron）		3/25/32|	4.10/3.4/3.10/7	Ih	U73	K78	60	120	42	30{4}+12{10/3}
110	完全扭稜二十面體		小六角六十面體（英語：Small hexagonal hexecontahedron）		|5/23 3	3.3.3.3.3.5/2	Ih	U32	K37	60	180	112	(40+60){3}+12{5/2}
111	扭稜小星形十二面體		中五角六十面體（英語：Medial pentagonal hexecontahedron）		|25/25	3.3.5/2.3.5	I	U40	K45	60	150	84	60{3}+12{5}+12{5/2}
112	扭稜二十面化截半大十二面體		中六角六十面體（英語：Medial hexagonal hexecontahedron）		|5/33 5	3.3.3.3.5.5/3	I	U46	K51	60	180	104	(20+6){3}+12{5}+12{5/2}
113	反扭稜大星形十二面體		大逆五角六十面體（維基數據：Q18048506）		|5/32 3	3.3.3.3.5/3	I	U69	K74	60	150	92	(20+60){3}+12{5/2}
114	反扭稜小星形十二面體		中逆五角六十面體（英語：Medial inverted pentagonal hexecontahedron）		|5/32 5	3.5/3.3.3.5	I	U60	K65	60	150	84	60{3}+12{5}+12{5/2}
115	大扭稜十二面截半二十面體		大六角六十面體（英語：Great hexagonal hexecontahedron）		|5/35/23	3.5/3.3.5/2.3.3	I	U64	K69	60	180	104	(20+60){3}+(12+12){5/2}
116	扭稜大星形十二面體		大五角六十面體（英語：Great pentagonal hexecontahedron）		|25/25/2	3.3.3.3.5/2	I	U57	K62	60	150	92	(20+60){3}+12{5/2}
117	大反屈扭稜截半二十面體		大五角星六十面體（英語：Great pentagrammic hexecontahedron）		|3/25/32	(3.3.3.3.5/2)/2	I	U74	K79	60	150	92	(20+60){3}+12{5/2}
118	小反屈扭稜二十面截半二十面體		小六角星六十面體（英語：Small hexagrammic hexecontahedron）		|3/23/25/2	(3.3.3.3.3.5/2)/2	Ih	U72	K77	180	60	112	(40+60){3}+12{5/2}
119	大二重斜方截半二十面體		大二重斜方截半二十面無窮星形六十面體（英語：Great dirhombicosidodecacron）		|3/25/335/2	(4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2)/2	Ih	U75	K80	60	240	124	40{3}+60{4}+24{5/2}

參見

• 均勻多面體列表（英語：List of uniform polyhedra）
• 五十九種二十面體

參考文獻

• Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
  • Errata
    • In Wenninger, the vertex figure for W90 is incorrectly shown as having parallel edges.
• Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Spherical Models. Cambridge University Press. 1979. ISBN 0-521-29432-0.

外部連結

• Magnus J. Wenninger
• Software used to generate images in this article:
  • Stella: Polyhedron Navigator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Stella （software） - Can create and print nets for all of Wenninger's polyhedron models.
  • Vladimir Bulatov's Polyhedra Stellations Applet （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
  • Vladimir Bulatov's Polyhedra Stellations Applet packaged as an OS X application （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• M. Wenninger, Polyhedron Models, Errata （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: known errors in the various editions.