拉西奧娃-西科爾斯基引理

在公理集合論中，拉西奧娃-西科爾斯基引理（Rasiowa–Sikorski lemma）是力迫使用的技巧中最基本的事實之一，該引理以海倫娜·拉西奧娃（英語：Helena Rasiowa）和羅曼·西科爾斯基（英語：Roman Sikorski）為名。

引理內容

在力迫的領域中，若說偏序集${\displaystyle \left(P,\leq \right)}$的子集${\displaystyle E}$在${\displaystyle P}$中稠密，就表示對於任意的${\displaystyle p\in P}$而言，有${\displaystyle e\in E}$使得${\displaystyle e\leq p}$；而若${\displaystyle D}$是${\displaystyle P}$的稠密子集的集族，那麼在滿足以下條件的狀況下，就稱${\displaystyle P}$中的濾子${\displaystyle F}$是${\displaystyle D}$－一般（英語：generic filter）的：

${\displaystyle F\cap E\neq \emptyset ,\forall E\in D}$

再有這些預備知識，就可以來描述拉西奧娃－西科爾斯基引理：

設${\displaystyle \left(P,\leq \right)}$是一個偏序集且${\displaystyle p\in P}$，若${\displaystyle D}$是${\displaystyle P}$的稠密子集的可數集族，那就存在一個${\displaystyle P}$中的${\displaystyle D}$－一般（英語：generic filter）的濾子${\displaystyle F}$，使得${\displaystyle p\in F}$

證明

此引理證明如下：

由於${\displaystyle D}$可數之故，因此可以將${\displaystyle P}$的子集給編號為${\displaystyle D_{1},D_{2},D_{3},...}$等等，由假設可知，存在一個${\displaystyle p\in P}$，然後由稠密性可知，存在一個${\displaystyle p_{1}\leq p}$且${\displaystyle p_{1}\in D_{1}}$，如是反覆，可得${\displaystyle ...\leq p_{2}\leq p_{1}\leq p}$，其中${\displaystyle p_{i}\in D_{i}}$，因此${\displaystyle G=\left\{q\in p:\exists i,q\geq p_{i}\right\}}$是${\displaystyle D}$－一般（英語：generic filter）的濾子。

可以認為拉西奧娃－西科爾斯基引理是馬丁公理較弱的版本，或說拉西奧娃-西科爾斯基引理等價於${\displaystyle \operatorname {MA} (\aleph _{0})}$。

例子

• 對於${\displaystyle \left(P,\leq \right)=(func(X,Y),\supseteq )}$，也就是從${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的、由包含關係定義的反向偏函數的偏序而言，若定義${\displaystyle D_{x}=\left\{s\in P:x\in dom(s)\right\}}$，那在這種狀況下，若${\displaystyle X}$可數，則拉西奧娃－西科爾斯基引理可得一個${\displaystyle \left\{D_{x}:x\in X\right\}}$－一般的濾子${\displaystyle F}$及一個函數${\displaystyle F:X\rightarrow Y}$
• 假若我們使用處理${\displaystyle D}$－一般的濾子的符號，那麼${\displaystyle \left\{H\cup G_{0}:P_{ij}P_{t}\right\}}$可得一個${\displaystyle H}$－一般濾子（英語：generic filter）
• 若${\displaystyle D}$不可數，但其基數嚴格小於${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$且其偏序集滿足可數鏈條件，那我們可使用馬丁公理。

參見

• 一般濾子（英語：generic filter）
• 馬丁公理

參考資料

• Ciesielski, Krzysztof. Set theory for the working mathematician. London Mathematical Society Student Texts 39. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-59441-3. Zbl 0938.03067.
• Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 102. North-Holland. 1980. ISBN 0-444-85401-0. Zbl 0443.03021.

外部連結

• Tim Chow's新聞群的文章Forcing for dummies （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）對力迫的概念與想法做出了很好的介紹，該文章介紹了主要的想法且跳過了技術性的細節。