解析延拓

解析延拓（英語：Analytic continuation）是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函數與黎曼ζ函數。

初步闡述

自然對數虛部之解析延拓

若 ${\displaystyle f}$ 為一解析函數，定義於複平面 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中之一開子集 ${\displaystyle U}$，而 ${\displaystyle V}$ 是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中一更大且包含 ${\displaystyle U}$ 之開子集。${\displaystyle F}$ 為定義於 ${\displaystyle V}$ 之解析函數，並使

${\displaystyle \displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

則 ${\displaystyle F}$ 稱為 ${\displaystyle f}$ 之解析延拓。換過來說，將 ${\displaystyle F}$ 函數限制在 ${\displaystyle U}$ 則得到原先的f函數。

解析延拓具有唯一性：

若 ${\displaystyle V}$ 為兩解析函數 ${\displaystyle F_{1}}$ 及 ${\displaystyle F_{2}}$ 的連通定義域，並使 ${\displaystyle V}$ 包含 ${\displaystyle U}$ ；若在 ${\displaystyle U}$ 中所有的 ${\displaystyle z}$ 使得

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z)}$，

則在 ${\displaystyle V}$ 中所有點

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$。

此乃因 ${\displaystyle F_{1}-F_{2}}$ 亦為一解析函數，其值於 ${\displaystyle f}$ 的開放連通定義域 ${\displaystyle U}$ 上為0，必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數之惟一性定理的直接結果。

應用

在複分析處理過程中定義函數的通常做法是，首先在較小的定義域中具體定義函數，然後通過解析延拓將其擴展到指定範圍。在實際操作中，為了實現函數的連續性，我們需要在較小的定義域中建立函數方程， 然後通過這個方程拓展定義域。例如黎曼ζ函數和Γ函數。全覆蓋的概念最早用來定義解析函數解析延拓之後的自然定義域。尋找函數解析延拓後的最大定義域的想法最後導致了黎曼面的誕生。

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