變形 (物理學)

關於工程學上的應用，請見「變形 (工程學)」。

在物理學和連續介質力學中，變形（Deformation）是指物體形狀或尺寸的改變，其因次為長度，國際單位制單位為米（m）。它被量化為非剛體中粒子從初始構形到最終構形的殘餘位移，其中不包括物體的平均平移和旋轉（即其剛性變換）。^[1] 一個構形是指包含物體所有粒子位置的集合。

變形的發生可由外力^[2]、內在活動（如肌肉收縮）、體積力（如重力或電磁力），或因溫度、濕度含量、化學反應等變化引起。

在連續體中，變形場由應力場產生。應力與應變（相對變形）之間的關係由本構方程式描述，例如線性彈性材料的虎克定律。

當應力場移除後會消失的變形稱為彈性變形。在這種情況下，連續體完全恢復其原始構形。另一方面，不可逆的變形則會殘留，即使在應力被移除後依然存在。其中一種不可逆變形是塑性變形，它發生在材料應力達到稱為彈性極限或降伏應力的特定閾值後，是原子層級上滑移或差排機制的結果。另一種不可逆變形是黏性變形，是黏彈性變形的不可逆部分。

定義與表述

變形是連續體度量性質的改變，意指初始構形中的曲線在移動到最終構形後，其長度發生了變化。若所有曲線長度均未改變，則稱之為剛體位移。

分析時，通常會定義一個參考構形（或稱未變形構形），所有後續構形都以此為參考。此外，也定義一個當前構形（或稱已變形構形）。分析變形時不考慮時間，因此在未變形與已變形構形之間的構形序列並非重點。

描述連續體變形有兩種方法：一種是以材料（參考）坐標進行描述，稱為材料描述或拉格朗日描述法；另一種則是以空間坐標進行描述，稱為空間描述或歐拉描述法。

仿射變形

仿射變形是一種可由仿射變換完全描述的變形。此類變換由一個線性變換（如旋轉、剪切、拉伸和壓縮）和一個剛體平移組成。仿射變形也稱為均勻變形。^[3]

因此，仿射變形具有以下形式： $${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$ 其中 x 是已變形構形中的點位置，X 是參考構形中的位置，t 是類時參數，F 是線性變換器，c 是平移向量。

剛體運動

剛體運動是一種特殊的仿射變形，不涉及任何剪切、拉伸或壓縮。其變換矩陣 F 是一個適當正交矩陣，以允許旋轉但不允許鏡射。其形式為： $${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$ 其中 $${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$

背景：位移

主條目：位移 (物理學)和位移場 (力學)

圖 1. 連續體的運動。

連續體構形的改變會產生位移。位移包含兩部分：剛體位移和變形。當粒子之間發生相對位移時，即為變形。

連接粒子在未變形構形與已變形構形中位置的向量稱為位移向量 u。一個位移場是物體中所有粒子位移向量所組成的向量場。在疊加未變形與已變形組態的坐標系後，位移向量可表示為： $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} }$$

位移梯度張量

主條目：位移梯度張量

位移向量對材料坐標的偏微分，可得到材料位移梯度張量 ∇_Xu。 $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\mathbf {F} -\mathbf {I} }$$ 其中 F 是變形梯度張量。

範例

簡單剪切

簡單剪切是一種等容（體積不變）的平面變形。在這種變形中，存在一組具有特定參考方向的線元素，其長度和方向在變形過程中保持不變。^[3]

若 e₁ 是固定的參考方向，則主伸長率 λ₁ = 1。定義 γ := F₁₂，則簡單剪切的變形梯度張量可表示為： $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ 也可以寫成： $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$

參見

• 撓度
• 歐拉-白努利樑理論
• 變形 (工程)
• 有限應變理論
• 無限小應變理論
• 莫列波紋
• 剪力模數
• 剪應力
• 剪力強度
• 應變 (力學)
• 應力 (力學)
• 應力測度