逗號範疇

在數學中，逗號範疇（特例：切片範疇）為範疇論的一類構造，提供了看待態射的一個不同的角度：不僅是簡單地從範疇的一個對象聯繫到另一個對象，態射本身亦是另一個對象。這一記號由 F. W. Lawvere 在 1963 年引入^[1]，最開始並不廣為人知。多個數學概念可處理為逗號範疇，逗號範疇本身亦確保部分極限和余極限存在。逗號範疇這一名稱來自 Lawvere 的原始記號，使用了逗號表示該結構，不過現已由於視覺上易混淆而不採用該記號，而 Lawvere 本人亦不喜歡不提供額外信息的命名 「逗號範疇」。^[1]

定義

最一般的逗號範疇結構涉及同一上域的兩個函子。通常，其中一個函子的域是 ${\displaystyle \mathbf {1} }$, 即單對象單態射的範疇。範疇論中的一些情形僅考慮一些特殊情形，但逗號範疇實際上寬泛得多。

一般形式

給定範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, 和函子 ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle T}$:

可按如下形式構建逗號範疇 ${\displaystyle (S\downarrow T)}$:

• 所有三元組 ${\displaystyle (A,B,h)}$ 匯得對象類，其中 ${\displaystyle A\in \operatorname {Ob} {\mathcal {A}},\,B\in \operatorname {Ob} {\mathcal {B}}}$, 而有所有 ${\displaystyle h:S(A)\rightarrow T(B)}$ 匯得分別的態射類 ${\displaystyle h\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,\,B)}$.
• 從 ${\displaystyle (A,B,h)}$ 到 ${\displaystyle (A',B',h')}$ 的態射為所有特定的有序對 ${\displaystyle (f,g)}$, 其中 ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$ 和 ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$ 分別為 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中的態射，使得下圖交換：

Comma Diagram

態射複合取 ${\displaystyle (f',g')\circ (f,g)}$ 作 ${\displaystyle (f'\circ f,g'\circ g)}$, 只要後者有定義. 特定對象 ${\displaystyle (A,\,B,\,h)}$ 的單位態射即 ${\displaystyle ({\rm {id}}_{A},\,{\rm {id}}_{B})}$.

切片範疇

首先注意到 ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {A}}}$ 時的特例, 函子 ${\displaystyle S}$ 即恆等函子, 而 ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\textbf {1}}}$, 具唯一對象 ${\displaystyle *}$ 與唯一態射. 則對 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的某對象${\displaystyle A_{*}}$ 有 ${\displaystyle T(*)=A_{*}}$.

此時, 逗號範疇寫作 ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})}$, 常稱作 ${\displaystyle A_{*}}$ 上的切片範疇, 或對象在 ${\displaystyle A_{*}}$ 上的範疇. 對象 ${\displaystyle (A,*,h)}$ 可簡化為有序對 ${\displaystyle (A,h)}$, 其中 ${\displaystyle h:A\rightarrow A_{*}}$. 有時 ${\displaystyle h}$ 亦記作 ${\displaystyle \pi _{A}}$. 切片範疇中從 ${\displaystyle (A,\pi _{A})}$ 到 ${\displaystyle (A',\pi _{A'})}$ 的態射 ${\displaystyle (f,\mathrm {id} _{*})}$ 此時可簡化作使得下圖交換的箭頭 ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$:

餘切片範疇

切片範疇的對偶即餘切片範疇. 此時, ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$, ${\displaystyle S}$ 的域為 ${\displaystyle {\textbf {1}}}$, 而 ${\displaystyle T}$ 為恆等函子.

此時, 逗號範疇寫作 ${\displaystyle (B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})}$, 其中 ${\displaystyle B_{*}=S(*)}$ 為據 ${\displaystyle S}$ 選定的 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的對象, 稱作 ${\displaystyle B_{*}}$ 下的切片範疇, 或對象在 ${\displaystyle B_{*}}$ 下的範疇. 其對象為有序對 ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$, 其中 ${\displaystyle \iota _{B}:B_{*}\rightarrow B}$. 給定 ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$ 和 ${\displaystyle (B',\iota _{B'})}$, 餘切片範疇中的態射為使得下圖交換的對象 ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$:

Coslice Diagram

箭頭範疇

${\displaystyle S}$ 和 ${\displaystyle T}$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 上的單位函子 (此時 ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$).

此時, 逗號範疇為箭頭範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$, 其對象為 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的態射, 而其態射為 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的形狀如下的交換圖.^[2]

Arrow Diagram

其他變體

在切片與餘切片範疇的情形中, 單位函子有時由其他某個函子替代, 這產生了一定程度上在伴隨函子研究中有用的範疇族. 例如, 若 ${\displaystyle T}$ 為將Abel群範疇投射到其基集合範疇的遺忘函子, 而 ${\displaystyle s}$ 為某給定集 (視作從 ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ 出發的範疇), 則逗號範疇 ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ 以從 ${\displaystyle s}$ 到某群的基集合的映射為對象. 這亦關聯到 ${\displaystyle T}$ 的左伴隨, 即投射集合到以該集為基集合的自由 Abel 群的函子. 某種程度上, ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ 的始對象為典範內射 ${\displaystyle s\to T(G)}$, 其中 ${\displaystyle G}$ 為 ${\displaystyle s}$ 生成的自由群.

${\displaystyle (s\downarrow T)}$ 的對象稱作從 ${\displaystyle s}$ 到 ${\displaystyle T}$ 的態射或有域 ${\displaystyle s}$ 的 ${\displaystyle T}$-結構化箭頭.^[2]${\displaystyle (S\downarrow t)}$ 的對象稱從 ${\displaystyle S}$ 到 ${\displaystyle t}$ 的態射或有上域 ${\displaystyle t}$ 的 ${\displaystyle S}$-結構化箭頭.^[2]

另一特例聚焦於 ${\displaystyle S}$ 和 ${\displaystyle T}$ 均為域為 ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ 的函子. 若有 ${\displaystyle S(*)=A}$ 和 ${\displaystyle T(*)=B}$, 逗號範疇 ${\displaystyle (S\downarrow T)}$, 記作 ${\displaystyle (A\downarrow B)}$, 為離散範疇, 其對象為從 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle B}$ 的態射.

插入子範疇為逗號範疇的 (非滿) 子範疇, 要求 ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$ 且 ${\displaystyle f=g}$. 逗號範疇亦可視作 ${\displaystyle S\circ \pi _{1}}$ 和 ${\displaystyle T\circ \pi _{2}}$ 的插入子, 其中 ${\displaystyle \pi _{1}}$ 和 ${\displaystyle \pi _{2}}$為積範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}$ 的投射函子.

性質

對每個逗號範疇, 總存在如下的遺忘函子:

• 域函子, ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {A}}}$, 其映射:
  • 對象: ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto A}$;
  • 態射: ${\displaystyle (f,g)\mapsto f}$;
• 上域函子, ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {B}}}$, 其映射:
  • 對象: ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto B}$;
  • 態射: ${\displaystyle (f,g)\mapsto g}$.
• 箭頭函子, ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$, 其映射:
  • 對象: ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto h}$;
  • 態射: ${\displaystyle (f,g)\mapsto (Sf,Tg)}$;

用例

一些值得注意的範疇

一些有趣的範疇存在按照逗號範疇完成的自然定義.

• 基點集範疇為逗號範疇, ${\displaystyle (\cdot \downarrow {\mathsf {Set}})}$, 其中 ${\displaystyle \cdot }$ 為 (由函子選定的) 任意單元集, 而 ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$ 即集合範疇 (的單位函子). 該範疇的所有對象都是集合, 以一個函數選擇集合中的部分元素, 「基點」. 態射為將基點投射到基點的集合函數. 按近似的風格亦可構建基點空間 ${\displaystyle (\cdot \downarrow {\mathsf {Top}})}$.
• 環 ${\displaystyle R}$ 上的結合代數範疇為餘切片範疇 ${\displaystyle (R\downarrow {\mathsf {Ring}})}$, 因為任意環同態 ${\displaystyle f\colon \,R\to S}$ 均誘導一個 ${\displaystyle S}$ 上的結合 ${\displaystyle R}$-代數結構, 反之亦然. 態射則為使圖交換的映射 ${\displaystyle h\colon \,S\to T}$.
• 圖範疇為 ${\displaystyle ({\mathsf {Set}}\downarrow D)}$, 其中 ${\displaystyle D\colon \,{\mathsf {Set}}\to {\mathsf {Set}}}$ 為從 ${\displaystyle s}$ 到 ${\displaystyle s\times s}$ 的函子. 對象 ${\displaystyle (a,\,b,\,f)}$ 含兩個集合與一個函數, 其中 ${\displaystyle a}$ 為索引集, ${\displaystyle b}$ 為節點集, 而 ${\displaystyle f\colon \,a\to b^{2}}$ 用以選定 ${\displaystyle b}$ 中由索引輸入的有序對. 也就是說 ${\displaystyle f}$ 標出了集合 ${\displaystyle b^{2}}$ 所有可能邊中的特定邊. 該範疇的態射由兩個函數組成, 其中一個於索引集上, 另一個於節點集上. 對上面的一般定義, 它們必須 「同意」, 這意味着 ${\displaystyle (g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')}$ 必須滿足 ${\displaystyle f'\circ g=D(h)\circ f}$. 換言之, 邊對應於索引集中的具體元, 映射結果中, 同樣的邊亦須對應.
• 許多 「增強」 或 「標籤」 運算均可以逗號範疇表示. 令 ${\displaystyle S}$ 為投射所有圖到其邊集合的函子, 並令 ${\displaystyle A}$ 為 (由函子選定的) 特定集, 此時 ${\displaystyle (S\downarrow A)}$ 即圖範疇, 其邊由 ${\displaystyle A}$ 中的元標記. 這種形式的逗號範疇通常稱為 ${\displaystyle S}$-覆蓋 ${\displaystyle A}$ 的對象——與前述 「${\displaystyle A}$ 上對象」 的概念密切相關. 這裡, 對象均採取結構 ${\displaystyle (B,\pi _{B})}$, 其中 ${\displaystyle B}$ 為圖, ${\displaystyle \pi _{B}}$ 為從 ${\displaystyle B}$ 到 ${\displaystyle A}$ 的邊. 該圖的節點可以相同方式標記.
• 範疇稱局部 Cartesian 閉,若其所有切片均 Cartesian 閉 (見前文切片之陳述). 局部 Cartesian 閉範疇為依賴類型理論的分類範疇.

極限與萬有態射

逗號範疇中的極限與余極限可能具 「遺傳性」. 若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 完全, ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 為連續函子, 而 ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 為其他函子 (不必連續), 此時引出逗號範疇 ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ 亦完全,^[3] 且投射函子 ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}}$ 均連續. 類似地, 若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 余完全, 而 ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 余連續, 則 ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ 亦余完全, 投射函子亦余連續.

例如, 沿用前述圖範疇之記號, 視其作逗號範疇, 則集合範疇完全且余完全, 而其單位函子連續且余連續. 因此圖範疇完全且余完全.

抵達於選定余極限或出發於選定極限的萬有態射, 可以逗號範疇的形式表示. 本質上是創建對象為錐, 且極限錐為終對象的範疇, 然後, 極限的每個萬有態射即到終對象的態射. 這一工作在對偶情形中, 即對象為擁有始對象的余錐的範疇. 例如, 令 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為範疇, 且函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ 遞送每個對象 ${\displaystyle c}$ 到 ${\displaystyle (c,\,c)}$, 每個箭頭 ${\displaystyle f}$ 到 ${\displaystyle (f,\,f)}$. 從 ${\displaystyle (a,\,b)}$ 到 ${\displaystyle F}$ 的萬有態射據定義含對象 ${\displaystyle (c,\,c)}$ 與攜萬有性質的態射 ${\displaystyle \rho \colon \,(a,\,a)\to (b,\,b)}$, 使得對任意態射 ${\displaystyle \rho \colon \,(a,\,b)\to (d,\,d)}$ 總存在唯一態射 ${\displaystyle \sigma :c\rightarrow d}$ 滿足 ${\displaystyle F(\sigma )\circ \rho =\rho '}$. 換言之, 這是在逗號範疇 ${\displaystyle ((a,b)\downarrow F)}$ 中的對象, 到該範疇中的任何其他對象均存在態射, 即始對象. 這也用於定義 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的余積, 只要其存在.

伴隨

William Lawvere 證明, 函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ 與 ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ 為伴隨對, 當且僅當分別以 ${\displaystyle id_{\mathcal {D}}}$ 和 ${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$ 為單位函子的逗號範疇 ${\displaystyle (F\downarrow id_{\mathcal {D}})}$ 和 ${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow G)}$ 同構, 而改逗號範疇中的等價元可投射於 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$ 中的相同元. 這使得伴隨得以不必涉及集合來序數, 而實際上這也是引入逗號範疇的最初動機.

自然變換

若 ${\displaystyle S,T}$ 的域相同, 則在 ${\displaystyle S\downarrow T}$ 中以 ${\displaystyle A=B,A'=B',f=g}$ 定義的圖將與定義自然變換 ${\displaystyle S\to T}$ 的圖同一. 兩個極好的不同在於, 自然變換是結構 ${\displaystyle S(A)\to T(A)}$ 型態射的特定總體, 而逗號範疇的對象涵蓋所有如此結構形態射. 到達逗號範疇的函子選定這一特定態射總體. 這也由 S.A. Huq^[4] 的觀點描述為, 給定 ${\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$, 自然變換 ${\displaystyle \eta :S\to T}$ 相當於映射每個元 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle (A,A,\eta _{A})}$, 每個態射 ${\displaystyle f=g}$ 到 ${\displaystyle (f,g)}$ 的函子 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$, 這是自然變換 ${\displaystyle S\to T}$ 和函子 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ 間的雙射對應, 這是從 ${\displaystyle S\downarrow T}$ 出發的兩個遺忘函子的截面.