雅可比猜想

雅可比猜想（Jacobian conjecture）是多變量多項式的一個著名問題，最初是由數學家凱勒（Ott-Heinrich Keller）於1939年提出，之後Shreeram Abhyankar取現名，並將之廣為傳播，以作為代數幾何的問題中，只需稍多於微積分的知識就能闡述的一個例子。

雅可比猜想直至2017年仍未得到正確證明。

雅可比行列式

令n>1為固定的整數，考慮多項式F₁, ... , F_n，變量為X=(X₁, ... , X_n)，係數在特徵為零的代數閉域k中。（可假設k為複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$。）也就是說${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in k[X]}$。定義函數F: kⁿ→kⁿ為

F(c₁, ... , c_n)=(F₁(c₁, ... , c_n), ... , F_n(c₁, ... , c_n))

函數F的雅可比行列式J_F是由F的偏導數組成的n×n矩陣的行列式

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{n}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{n}}{\partial X_{n}}}\end{matrix}}\right|,}$

J_F也是變量為X的多項式函數。

敘述

多變量微積分的反函數定理指出如在某一點有J_F ≠ 0，那麼在該點附近F有反函數。由於k是代數閉域，J_F是多項式，因此J_F必定在某些點上為0，除非J_F是非零的常數函數。以下是一項基本結果：

若F有反函數G: kⁿ→kⁿ，則J_F是非零的常數函數。

而其反命題則為雅可比猜想：
令${\displaystyle k}$為一特徵為零的代數閉域。若

1. ${\displaystyle F=(F_{1},\dots ,F_{n})\in k[X]\times k[X]\times \dots k[X]}$,
2. J_F是非零常數函數，（等價於以下條件：對於所有的${\displaystyle x\in k^{n}}$，${\displaystyle F'(x)}$皆是可逆的線性變換）

則${\displaystyle F}$有反函數，且此反函數亦屬於${\displaystyle k[X]}$。

外部連結

• （英文）莫宗堅簡論雅可比猜想的網頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）