非初等積分

數學上的非初等積分是指某反導數（或不定積分）是初等函數的反導數，但其自身不是初等函數^[1]。1835年的劉維爾定理證明了非初等積分存在^[2]。此定理也提供了Risch算法的基礎，可以判定哪些初等函數的反導數也是初等函數（不過不太容易）。

範例

以下是一些其反導數是非初等積分的函數範例：

• ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{4}}}}$^[1]（橢圓積分）
• ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$^[3]（對數積分）
• ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$^[1]（誤差函數、高斯積分）
• ${\displaystyle \sin(x^{2})}$ and ${\displaystyle \cos(x^{2})}$（菲涅耳積分）
• ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)}$（三角積分、狄利克雷積分）
• ${\displaystyle {\frac {e^{-x}}{x}}}$ （指數積分）
• ${\displaystyle e^{e^{x}}\,}$（可以用指數積分來表示）
• ${\displaystyle \ln(\ln x)\,}$（可以用對數積分來表示）
• ${\displaystyle {x^{c-1}}e^{-x}}$（不完全Γ函數），若${\displaystyle c=0,}$其反導數可以用指數積分表示，若${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}},}$，可以用誤差函數表示，若${\displaystyle c=}$是其他正數，其反導數是基礎函數。

一些常見的非初等積分有其名稱，也就是所謂的特殊函數，上述公式後面的括弧即為這些函數的名稱。

性質

非初等積分可以用泰勒級數來計算。就算一函數的反導數是非初等積分，其泰勒級數也是解析函數，可以像多項式一様逐項積分，因此其半導數也是泰勒級數，有相同的收斂半徑。不過，就算積分是收斂的泰勒級數，其係數也沒有簡單的公式，必須逐項計算，其限制和積分的泰勒級數相同。

若要計算非初等積分的定積分，可以用數值積分近似。也有些情形是其不定積分無法用初等函數表示，但特定的定積分（可能是無限區間內的反常積分）可以用初等函數表示：例如著名的高斯積分 ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$^[4]。

初始函數積分的閉包即為劉維爾函數。

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