劉維爾函數 (微積分)

此條目介紹的是微積分學的劉維爾函數。關於數論中名為Liouville function的函數，請見「劉維爾函數」。

在微積分學領域，劉維爾函數（英語：Liouvillian function）是一類函數，包括所有初等函數以及它們的任意次積分，也可以遞歸地定義為：

• 初等函數是劉維爾函數
• 如果一個函數是劉維爾函數，那麼它的積分也是

所以，劉維爾函數對於算術運算，複合，微分，積分封閉，但是對求極限和無窮求和不封閉。

劉維爾函數是由約瑟夫·劉維爾在1833年至1841年的一系列論文中所提出的。

示例

• 所有的初等函數
• 誤差函數
• 菲涅耳積分，對數積分，指數積分

所有劉維爾函數都是代數微分方程的解，但反之則不然。作為代數微分方程解但不是劉維爾函數的示例包括^[1]：

• 大多數貝塞爾函數
• 大多數超幾何函數

所以，像：

• Γ函數
• ζ函數（英語：List of zeta functions）

它們不是代數微分方程解，所以自然不是劉維爾函數。

相關條目

• 封閉形式
• 微分伽羅瓦理論
• 劉維爾定理 (微分代數)
• 非初等積分
• Picard–Vessiot theory（英語：Picard–Vessiot theory）